Zadanie 8.3

Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone stosując twierdzenie o całkowaniu przez części.

Wskazówki

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Niech funkcje \(f\) i \(g\) mają ciągłe pochodne. Wówczas \[\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx.\]

Uwaga

Z twierdzenia o całkowaniu przez części najczęściej korzystamy, gdy funkcje podcałkowe mają postać iloczynu, np:

\(x^{k}\ln^{n}x, \ \ k, n \in \mathbb{N}\) - \(n\) - razy przez części,
\(W(x)\ln^{n}x, \ \ n \in \mathbb{N}, W\) - wielomian,
\(\left.\begin{matrix}
x^{k}\sin px\\
x^{k}\cos px
\end{matrix}\right\}\) - \(k\) - razy przez części,
\(x^{k}e^{px}, \ \ k, p \in \mathbb{N},\)
\(x^{k}\textrm{arctg }px, \ \ k, p \in \mathbb{N}.\)

Całki typu \(x^{k}\ln^{n}x\)

\(1. \ \ {\displaystyle \int \ln x\ dx}\)
\(2. \ \ {\displaystyle \int x\ln x\ dx}\)
\(3. \ \ {\displaystyle \int x^{3}\ln^{2} x\ dx}\)

Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części, czyli ze wzoru \[\color{#F57C00}{{\displaystyle \int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx}}.\]
Całkowanie przez części polega na rozkładzie iloczynu funkcji podcałkowych na dwie tak, aby policzyć pochodną pierwszej z nich (i tym samym zredukować funkcję) oraz obliczeniu całki drugiej z nich (tu często rozbudujemy wyrażenie, jednak w wielu przypadkach mimo to doprowadzimy do rozwiązania).

Zaczynamy od pierwszej całki dobierając funkcje \(f\) i \(g\) tak, aby pozbyć się spod znaku całki logarytmu.
W pierwszej i drugiej całce logarytm naturalny występuje w pierwszej potędze (\(k=0\) oraz \(n=1\) w wyrażeniu \(x^{k}\ln^{n}x,\)), zatem całkujemy jeden raz przez części. Nie mamy tutaj iloczynu, zatem sztucznie definiujemy funkcję \(g'\) jako funkcję stałą równą \(1.\)

\({\displaystyle 1. \ \ \int \ln x\ dx = \begin{vmatrix}
f(x)=\ln x & g'(x)=1\\
f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=x
\end{vmatrix}=x\ln x -\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx =x\ln x-x+C}\)

\({\displaystyle 2. \ \ \int x \ln x\ dx = \begin{vmatrix}
f(x)=\ln x & g'(x)=x\\
f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{2}}{2}
\end{vmatrix}=\frac{x^{2}}{2} \ln x -\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x}\ dx =\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4} +C}\)

W trzeciej całce \(k=3\) oraz \(n=2\) w wyrażeniu \(x^{k}\ln^{n}x,\) zatem będziemy całkować przez części dwukrotnie.
\({\displaystyle 3. \ \ \int x^{3}\ln^{2} x\ dx = \begin{vmatrix}
f(x)=\ln^{2} x & g'(x)=x^{3}\\
f'(x)=2 \ln x \cdot \frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{4}}{4}
\end{vmatrix}=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2} x -\int \frac{x^{4}}{4} \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}\ dx =}\\
{\displaystyle \frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{1}{2}\int x^{3}\ln x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=\ln x & g'(x)=x^{3}\\
f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\frac{x^{4}}{4}
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{1}{2}\left [ \frac{x^{4}}{4}\cdot \ln x-\int \frac{x^{4}}{4}\cdot \frac{1}{x} \right ]=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{1}{8}\int x^{3}=}\\
{\displaystyle =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{1}{8}\frac{x^{4}}{4}+C=\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{x^{4}}{32}+C}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int \ln x\ dx =x\ln x-x+C}\\
{\displaystyle \int x \ln x\ dx =\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4} x+C}\\
{\displaystyle \int x^{3}\ln^{2} x\ dx =\frac{x^{4}}{4} \ln^{2}x-\frac{x^{4}}{8}\ln x+\frac{x^{4}}{32}+C}\)

Całki typu \(x^{k}\sin px, \ \ x^{k}\cos px\)

\({\displaystyle 1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx}\)
\({\displaystyle 2. \ \ \int x \cos 2x\ dx}\)

Rozwiązanie

W pierwszej całce dwukrotnie korzystamy z \({\displaystyle \int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx}\) . W wyrażeniu \(x^{k}\sin px\) mamy \(k=2\) oraz \(p=1.\)
\({\displaystyle 1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=\sin x\\
f'(x)=2x & g(x)=-\cos x
\end{vmatrix}=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=\cos x\\
f'(x)=1 & g(x)=\sin x
\end{vmatrix} =-x^{2}\cos x+2\left [ x\sin x-\int \sin x\ dx \right ]=}\\
{\displaystyle =-x^{2}\cos x+2x\sin x-2(-\cos x)+C=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}\)

W drugiej całce twierdzenie o całkowaniu przez części stosujemy raz. Podczas całkowania przez części szukamy takiej funkcji \(g(x),\) której pochodna \(g'(x)\) wynosi \(\cos 2x,\) czyli \(g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}\sin 2x}\). Wystarczy sprawdzić \({\displaystyle g'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2 \cos 2x=\cos 2x}.\)
(W kolejnych zadaniach będziemy mogli zastosować metodę podstawiania w takich sytuacjach.)
\({\displaystyle 2. \ \ \int x \cos 2x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=\cos 2x\\
f'(x)=1 & g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2x\ dx=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cos 2x +C=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4} \cos 2x +C=}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle 1. \ \ \int x^{2}\sin x\ dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}\\
{\displaystyle 2. \ \ \int x \cos 2x\ dx=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4} \cos 2x +C}\)

Całki typu \(x^{k}e^{px}\)

\({\displaystyle 1. \ \ \int x e^{4x}\ dx}\\
{\displaystyle 2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx}\)

Rozwiązanie

W obu całkach korzystamy z \({\displaystyle \int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx}\) . W drugiej całce trzykrotnie (\(k=3\)).

\({\displaystyle 1. \ \ \int x e^{4x}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{4x}\\
f'(x)=1 & g(x)=\frac{1}{4}e^{4x}
\end{vmatrix}=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{4}\int e^{4x}\ dx=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}e^{4x}+C=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{16}e^{4x}+C}\)

\({\displaystyle 2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x^{3} & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=3x^{2} & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=2x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}= x^{3}e^{x}-3\left [ x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\ dx \right ]=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=1 & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6\left [ xe^{x}-\int e^{x}\ dx \right ]=}\\
{\displaystyle x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+C}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle 1. \ \ \int x e^{4x}\ dx=\frac{1}{4}xe^{4x}-\frac{1}{16}e^{4x}+C}\)
\({\displaystyle 2. \ \ \int x^{3}e^{x}\ dx= x^{3}e^{x}-3 x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+C}\)

Całki różnego typu

\({\displaystyle 1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx}\)
\({\displaystyle 2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx}\)

Rozwiązanie

ALGORYTM

W tego typu całkach dwukrotnie korzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części, trzymając się kolejności przypisywania funkcji (\(f\) i \(g\)). Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy po prawej stronie całkę wyjściową, różniącą się tylko współczynnikiem liczbowym. Wystarczy potraktować całki jako wyrażenia podobne, zredukować wyrazy podobne i na końcu wyznaczyć wartość całki dzieląc przez współczynnik powstały poprzez redukcję wyrazów podobnych.

\({\displaystyle 1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=\sin 4x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=4\cos 4x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\sin 4x-4\int e^{x}\cos 4x\ dx=}\\
{\displaystyle \begin{vmatrix}
f(x)=\cos 4x & g(x)=e^{x}\\
f'(x)=-4\sin 4x & g'(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\sin 4x-4\left [ e^{x}\cos 4x+4\int e^{x}\sin 4x\ dx \right ]=}\\
{\displaystyle =e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x-16\int e^{x}\sin 4x\ dx}\\
{\displaystyle \color{#F57C00}{\int e^{x}\sin 4x\ dx}=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x\color{#F57C00}{-16\int e^{x}\sin 4x\ dx}}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx+16\int e^{x}\sin 4x\ dx=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x}\\
{\displaystyle 17\int e^{x}\sin 4x\ dx=e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x \ \ /:17}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{e^{x}\sin 4x-4e^{x}\cos 4x}{17}+C}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{e^{x}\sin 4x}{17}-\frac{4e^{x}\cos 4x}{17}+C}\)

\({\displaystyle 2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=\sin 2x & g'(x)=\cos x\\
f'(x)=2\cos 2x & g(x)=\sin x
\end{vmatrix}=\sin x \sin 2x -2\int \sin x \cos 2x\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=\cos 2x & g'(x)=\sin x\\
f'(x)=-2\sin 2x & g(x)=-\cos x
\end{vmatrix}=\sin x \sin 2x -2\left [ -\cos x\cos 2x -\int (-\cos x) \cdot (-2\sin 2x)\ dx\right ]=}\\
{\displaystyle =\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +4\int \cos x \sin 2x\ dx}\\
{\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +4\int \cos x \sin 2x\ dx}\\
{\displaystyle \color{#F57C00}{\int \sin 2x\cos x\ dx}=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x +\color{#F57C00}{4\int \sin 2x \cos x\ dx}}\\
{\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx-4\int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x}\\
{\displaystyle -3\int \sin 2x\cos x\ dx=\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x \ \ /:(-3)}\\
{\displaystyle \int \sin 2x\cos x\ dx=-\frac{1}{3}\sin x \sin 2x -\frac{2}{3}\cos x\cos 2x+C}\\\)

Odpowiedź

\({\displaystyle 1. \ \ \int e^{x}\sin 4x\ dx=\frac{1}{17}e^{x}( \sin 4x - 4\cos 4x)+C}\)
\({\displaystyle 2. \ \ \int \sin 2x\cos x\ dx=-\frac{1}{3}\left (\sin x \sin 2x +2\cos x\cos 2x\right )+C}\)

\({\displaystyle 3. \ \ \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx}\)

Rozwiązanie

W celu rozwiązania całki \(1\) stosujemy twierdzenie o całkowaniu przez części. W wyniku zastosowania tego twierdzenia (przy odpowiednim doborze funkcji \(f\) i \(g\)) już na początku pojawia się do rozwiązania całka \(\color{#F57C00}{g(x)=e^{x}\cos x\ dx}.\) Tą i kolejną, jaka się pojawia, rozwiązujemy dla wygody osobno, stosując metodę podaną w przykładzie całek \(1\) i \(2\) różnego typu.
\({\displaystyle \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x-1 & \color{#F57C00}{g'(x)=e^{x}\cos x}\\
f'(x)=1 & \color{#F57C00}{g(x)=\frac{1}{2}e^{x}\left ( \sin x+\cos x \right )}
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\int e^{x}\left ( \sin x+\cos x \right )\ dx}=\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\color{#388E3C}{\int e^{x}\sin x\ dx} -\frac{1}{2}\color{#F57C00}{\int e^{x}\cos x\ dx} =}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}\color{#388E3C}{\left ( \frac{1}{2}e^{x}(\sin x- \cos x) \right )} -\frac{1}{2}\color{#F57C00}{ \left ( \frac{1}{2}e^{x}(\sin x+ \cos x) \right )}+C=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{4}e^{x}\sin x+\frac{1}{4}e^{x} \cos x -\frac{1}{4}e^{x}\sin x-\frac{1}{4}e^{x} \cos x +C=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}e^{x}\sin x+C}\)
Zaznaczone całki są policzone metodą przedstawioną w poprzednim przykładzie (\(1.\) i \(2.\)).
W takim przypadku warto je liczyć osobno i wstawić wynik.

\({\displaystyle \color{#388E3C}{\int e^{x}\sin x\ dx}=\begin{vmatrix}
f(x)=\sin x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=\cos x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\sin x -\int e^{x}\cos x\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=\cos x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=-\sin x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x\ dx}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x\ dx}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx+\int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x}\\
{\displaystyle 2\int e^{x}\sin x\ dx=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x}\\
{\displaystyle \int e^{x}\sin x\ dx=\color{#388E3C}{ \frac{1}{2}e^{x}\left (\sin x-\cos x \right )}}\)

\({\displaystyle \color{#F57C00}{ \int e^{x}\cos x\ dx}=\begin{vmatrix}
f(x)=\cos x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=-\sin x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\cos x +\int e^{x}\sin x\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=\sin x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=\cos x & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\ dx}\\
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\ dx}\\
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx+\int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}\\
{\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\ dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x}\\
{\displaystyle \int e^{x}\cos x\ dx=\color{#F57C00}{\frac{1}{2}e^{x}\left (\cos x+\sin x \right )}}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int (x-1)e^{x} \cos x \ dx=\frac{1}{2}(x-1)e^{x}\left ( \sin x +\cos x \right )-\frac{1}{2}e^{x}\sin x+C}\)

\({\displaystyle 4. \ \ \int x\textrm{ arctg }x\ dx}\)

Rozwiązanie

Zgodnie z intuicją chcemy zredukować funkcję podcałkową, zatem stosujemy twierdzenie o całkowaniu przez części w przedstawiony sposób.
\({\displaystyle \int x\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=\textrm{ arctg }x\\
f'(x)=1 & g(x)=\textrm{?}
\end{vmatrix}}\)
Okazuje się, że jako funkcję \(g'\) uzyskaliśmy funkcję, z której nie da się obliczyć całki.
W takich sytuacjach jesteśmy "zmuszeni" aby odwrotnie przypisać funkcje. W wyniku takiego zastosowania twierdzenia pozbywamy się funkcji \(\textrm{arctg }x\) i dochodzimy do rozwiązania.
\({\displaystyle \int x\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=\textrm{ arctg }x & g'(x)=x\\
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} & g(x)=\frac{x^{2}}{2}
\end{vmatrix}=\frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\ dx}=\)

\({\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\ dx}=\\
{\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \left (\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}} \right )\ dx}=\\
{\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}\ dx-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}}}=\\
{\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}\int \ dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}}}=\\
{\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\textrm{ arctg }x+C}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int x\textrm{ arctg }x\ dx= \frac{1}{2}x^{2}\textrm{ arctg }x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\textrm{ arctg }x+C}\)

Zadanie 8.2

Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone stosując twierdzenie o całkowaniu przez części.

Całka 1

\({\displaystyle \int \ln(1+x^{2})\ dx}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int \ln(1+x^{2})\ dx=x\ln(1+x^{2})-2x+2\textrm{ arctg }x+C}\)

Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \ln(1+x^{2})\ dx= \begin{vmatrix}
f(x)=\ln (1+x^{2}) & g'(x)=1\\
f'(x)=\frac{1\cdot 2x}{1+x^{2}} & g(x)=x
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\ dx=x\ln(1+x^{2})-2\int \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}\ dx=}\\
{\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2\int 1\ dx-2\int \frac{-1}{1+x^{2}}\ dx=x\ln(1+x^{2})-2x+2\int \frac{dx}{1+x^{2}}\ dx=}\\
{\displaystyle =x\ln(1+x^{2})-2x+2\textrm{ arctg }x+C}\)

Całka 2

\({\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx=\frac{e^{3x}}{10}\left (\sin x+3\cos x\right )+C}\)

Rozwiązanie

\({\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=e^{3x} & g'(x)=\cos x\\
f'(x)=3e^{3x} & g(x)=\sin x
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =e^{3x}\sin x-3\int e^{3x}\sin x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=e^{3x} & g'(x)=\sin x\\
f'(x)=e^{3x} & g(x)=-\cos x
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =e^{3x}\sin x-3\left ( -e^{3x}\cos x +3\int e^{3x}\cos x\ dx \right )=
e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x -9\int e^{3x}\cos x\ dx}\)

\({\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x -9\int e^{3x}\cos x\ dx}\\
{\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx+9\int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x}\\
{\displaystyle 10\int e^{3x}\cos x\ dx=e^{3x}\sin x+3e^{3x}\cos x \ \ /:10}\\
{\displaystyle \int e^{3x}\cos x\ dx=\frac{e^{3x}}{10}\sin x+\frac{3e^{3x}}{10}\cos x+C}\)

Całka 3

\({\displaystyle \int x^{2}e^{-4x}\ dx}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int x^{2}e^{-4x}\ dx=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}-\frac{1}{32}e^{-4x}+C}\)

Rozwiązanie

\({\displaystyle \int x^{2}e^{-4x}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-4x}\\
f'(x)=2x & g(x)=-\frac{1}{4}e^{-4x}
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{2}{4}\int xe^{-4x}\ dx=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{1}{2}\int xe^{-4x}\ dx=}\\
{\displaystyle =\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{-4x}\\
f'(x)=1 & g(x)=-\frac{1}{4}e^{-4x}
\end{vmatrix}=-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}+\frac{1}{2}\left ( -\frac{1}{4}xe^{-4x}+\frac{1}{4}\int e^{-4x}\ dx \right )=}\\
{\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}+\frac{1}{8}\left ( -\frac{1}{4} \right )e^{-4x}+C=}\\
{\displaystyle =-\frac{1}{4}x^{2}e^{-4x}-\frac{1}{8}xe^{-4x}-\frac{1}{32}e^{-4x}+C}\)

Całka 4

\({\displaystyle \int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle \int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx=-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}+16\cos \frac{x}{2}+C}\)

Rozwiązanie

\({\displaystyle \int x^{2}\sin \frac{x}{2}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=\sin \frac{x}{2}\\
f'(x)=2x & g(x)=-2\cos \frac{x}{2}
\end{vmatrix}=-2x^{2}\cos \frac{x}{2}-\int 2x \cdot \left ( -2\cos \frac{x}{2} \right )\ dx=}\\
{\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+4\int x\cos \frac{x}{2}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=\cos \frac{x}{2}\\
f'(x)=1 & g(x)=2\sin \frac{x}{2}
\end{vmatrix}=}\\
{\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+4\left [2x\sin \frac{x}{2}-2\int \sin \frac{x}{2}\ dx \right ]=
-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}-8\int \sin \frac{x}{2}\ dx=}\\
{\displaystyle =-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}-8(-2\cos \frac{x}{2})+C=
-2x^{2}\cos \frac{x}{2}+8x\sin \frac{x}{2}+16\cos \frac{x}{2}+C}\)

Ćwiczenie interaktywne

Oblicz całki nieoznaczone i dobierz w pary całkę z odpowiednim wynikiem.

Uwaga

Przeciągnij właściwy wynik w odpowiednie pole, tworząc tożsamość. Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź". Jeśli chcesz zacząć od nowa kliknij przycisk "Wyczyść".

Zadanie 8.4