Zadanie 8.7
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 8. Całka nieoznaczona
  3. Zadanie 8.7

 Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych.

 Wskazówki

Całkowanie funkcji postaci \(R(\sin x, \cos x)\)

Niech \(R(u,v)\) będzie  Funkcję, którą można przedstawić w postaci ilorazu wielomianów dwóch zmiennych, nazywamy funkcją wymierną dwóch zmiennych.  Wówczas do obliczania całek postaci \[{\displaystyle\int R(\sin x, \cos x)\ dx},\] w zależności od warunków jakie spełniafunkcja \(R,\) stosujemy podstawienia z poniższej tabeli.
Warunek Podstawienie Przedstawienie funkcji Różniczka
\(R(-u,v)=-R(u,v)\)* \(t=\cos x\) \(\sin x=\sqrt{1-t^{2}}\) \({\displaystyle dx=\frac{-dt}{\sqrt{1-t^{2}}}}\)
\(R(u,-v)=-R(u,v)\)* \(t=\sin x\) \(\cos x=\sqrt{1-t^{2}}\) \({\displaystyle dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}}\)
\(R(-u,-v)=R(u,v)\)* \(t=\textrm{tg } x\) \({\displaystyle \sin x= \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}}\\ {\displaystyle \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}\) \({\displaystyle dx=\frac{dt}{1+t^{2}}}\)
\(R\) - dowolna funkcja \({\displaystyle t=\textrm{tg } \frac{x}{2}}\) - podstawienie uniwersalne \({\displaystyle \sin x= \frac{2t}{1+t^{2}}}\\ {\displaystyle \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\) \({\displaystyle dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}}\)
*podstawiamy za tę funkcję trygonometryczną, która znajduje się w parzystej potędze, jeśli obie są w parzystej potędze, wówczas podstawiamy \(t=\textrm{tg } x.\)

Całkowanie funkcji postaci \(\sin ax \cos bx, \sin ax \sin bx, \cos ax \cos bx\)

Do obliczania całek z funkcji postaci \[\sin ax \cos bx,\ \  \sin ax \sin bx,\ \  \cos ax \cos bx\] stosujemy następujące tożsamości trygonometryczne
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle (1) \ \ \sin ax \cos bx=\frac{1}{2}\left [ \sin(a+b)x+\sin(a-b)x \right ]},\\
{\displaystyle (2) \ \ \sin ax \sin bx=\frac{1}{2}\left [ \cos(a-b)x-\cos(a+b)x \right ]},\\
{\displaystyle (3) \ \ \cos ax \cos bx=\frac{1}{2}\left [ \cos(a+b)x+\cos(a-b)x \right ]}.
\end{array}\]

 Całka 1

\({\displaystyle \int \sin 5x\cos 4x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru \[{\displaystyle  \sin ax \cos bx=\frac{1}{2}\left [ \sin(a+b)x+\sin(a-b)x \right ]},\] dla \(a=5x\) oraz \(b=4x\) oraz z metody podstawiania.
\({\displaystyle \int \sin 5x\cos 4x\ dx=\int \frac{1}{2}\cdot \left [ \sin (5+4)x+\sin(5-4)x \right ]\ dx=}\\
{\displaystyle =\frac{1}{2}\int \sin 9x\ dx+\frac{1}{2}\int \sin x\ dx=\begin{vmatrix}
9x=t\\
9dx=dt\\
dx=\frac{dt}{9}
\end{vmatrix}=\frac{1}{18}\int \sin t\ dt-\frac{1}{2}\cos x+C=-\frac{1}{18}\cos t-\frac{1}{2}\cos x+C=-\frac{1}{18}\cos 9x-\frac{1}{2}\cos x+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sin 5x\cos 4x\ dx=-\frac{1}{18}\cos 9x-\frac{1}{2}\cos x+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \sin^{5}x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Do rozwiązania podanej całki możemy zastosować  \({\displaystyle \int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2. \)  wzór rekurencyjny dla całek opisany w zadaniu 8.4. Możemy również zastosować metodę podstawiania. Funkcja ta spełnia warunek: \(R(-u,v)=-R(u,v).\) Po przekształceniu funkcji i zastosowaniu wzoru jedynkowego funkcja cosinus znajduje się w parzystej potędze, zatem dokonujemy podstawienia \(t=\cos x.\)
\({\displaystyle \int \sin^{5}x\ dx= \int \left ( \underbrace{ 1-\cos^{2}x }_{\sin^{2}x} \right )^{2}\sin x\ dx=\begin{vmatrix}
\cos x=t\\
-\sin x\ dx=dt\\
\sin x\ dx=-dt
\end{vmatrix}=\int (1-t^{2})^{2}(-dt)=-\int (1-t^{2})^{2}\ dt=-\int \left ( 1-2t^{2}+t^{4} \right )\ dt=-t+2\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=-\cos x+\frac{2\cos ^{3}x}{3}-\frac{\cos^{5}x}{5}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sin^{5}x\ dx=-\cos x+\frac{2\cos ^{3}x}{3}-\frac{\cos^{5}x}{5}+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{1-\sin x}{2\cos^{2}x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Na początku możemy zauważyć, że za pomocą wzoru jedynkowego oraz wzorów skróconego mnożenia możemy w prosty sposób skrócić wyrażenie pamiętając, że działamy na odpowiedniej dziedzinie.
\({\displaystyle \int \frac{1-\sin x}{2\cos^{2}x}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{1-\sin x}{\cos^{2}x}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{1-\sin x}{1-\sin^{2}x}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{\cancel{(1-\sin x)}}{\cancel{(1-\sin x)}(1+\sin x)}\ dx=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+\sin x}=\cdots }\)
W kolejnym etapie korzystamy z jednego z wyżej wymienionych podstawień.
Najwygodniej zastosować podstawienie uniwersalne.
\({\displaystyle \cdots =\begin{vmatrix}
\textrm{ tg }\frac{x}{2}=t\\
\frac{x}{2}=\textrm{ arctg } t\\
x=2\textrm{ arctg } t\\
dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt\\
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\int \frac{\frac{2}{1+t^{2}}dt}{1+\frac{2t}{1+t^{2}}}=\cdots }\)
Przekształcamy uzyskane pod całką wyrażenie, aby zapisać je w najprostszej postaci.
\({\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}\int \frac{\frac{\cancel{2}}{1+t^{2}}dt}{1+\frac{2t}{1+t^{2}}}=
\int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{\frac{1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}}= \int \frac{\frac{dt}{\cancel{1+t^{2}}}}{\frac{1+t^{2}+2t}{\cancel{1+t^{2}}}}=
\int \frac{dt}{1+t^{2}+2t}=\cdots}\)
Funkcję kwadratową występującą w mianowniku zapisujemy w postaci kanonicznej (stosując w przeciwną stronę wzór skróconego mnożenia) i dokonujemy kolejnego podstawienia.
\({\displaystyle \cdots =\int \frac{dt}{(1+t)^{2}}=\begin{vmatrix}
1+t=s\\
dt=ds
\end{vmatrix}= \int \frac{ds}{s^{2}}=-\frac{1}{s}+C=\cdots }\)
Po obliczeniu całki wracamy do obu podstawień.
\({\displaystyle \cdots =-\frac{1}{1+t}+C=-\frac{1}{1+\textrm{ tg }\frac{x}{2}}+C }\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{1-\sin x}{2\cos^{2}x}\ dx=-\frac{1}{1+\textrm{ tg }\frac{x}{2}}+C }\)

 Całka 4

\({\displaystyle \int \frac{(\textrm{ tg }x +1)\textrm{ tg }x}{\sin x+\cos x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku dokonujemy podstawienia. Ponieważ w funkcji podcałkowej występują trzy funkcje trygonometryczne, wybieramy podstawienie:

\[\begin{vmatrix}
{\displaystyle \textrm{ tg }x=t\\
dx=\frac{dt}{1+t^{2}}\\
\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\\
\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}
\end{vmatrix}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\begin{vmatrix}
{\displaystyle \textrm{ tg }\frac{x}{2}=t\\
dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}\\
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}\\
\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}
\end{vmatrix}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\begin{vmatrix}
{\displaystyle \sin x=t\\
dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}\\
\cos x=\sqrt{1-t^{2}}}
\end{vmatrix}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

W drugim kroku dokonujemy podstawienia i upraszczamy funkcję podcałkową. Wybierz właściwą odpowiedź.

\[{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle \int \frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt}\]

Odpowiedź nieprawidłowa
\({\displaystyle \int \frac{(\textrm{ tg }x +1)\textrm{ tg }x}{\sin x+\cos x}\ dx
=\int \frac{(t+1)t}{\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}}\cdot \frac{dt}{1+t^{2}}=\int \frac{(t+1)t}{\frac{t+1}{\sqrt{1+t^{2}}}\cdot (1+t^{2})}\ dt=\int \frac{(t+1)t}{(t+1)\sqrt{1+t^{2}}}\ dt=\int \frac{\cancel{(t+1)}t}{\cancel{(t+1)}\sqrt{1+t^{2}}}\ dt=\int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt}\)

 Krok 3

W trzecim kroku rozważamy metodę podstawiania do powstałej całki. Mnożymy licznik i mianownik przez \(2,\) uzyskując w ten sposób w liczniku pochodną funkcji znajdującej się pod pierwiastkiem. Zatem podstawiamy za \(1+t^{2}=s.\) Wybierz właściwą całkę, jaką otrzymamy po podstawieniu.

\[{\displaystyle \int \frac{ds}{\sqrt{s}}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \int \frac{2ds}{\sqrt{s}}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \int \frac{ds}{2\sqrt{s}}}\]

Odpowiedź prawidłowa
\({\displaystyle \int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt=\frac{1}{2}\int \frac{2t}{\sqrt{1+t^{2}}}\ dt=\begin{vmatrix}
1+t^{2}=s\\
2tdt=ds
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\int \frac{ds}{\sqrt{s}}=\int \frac{ds}{2\sqrt{s}}}\)

 Krok 4

W ostatnim kroku zauważamy, że jako funkcję podcałkową otrzymaliśmy funkcję, która jest pochodną \(\sqrt{s}.\) Zatem po powrocie do podstawień (obu) otrzymamy:

\[{\displaystyle \sqrt{\textrm{tg }^{2}x}+C}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \sqrt{1+\textrm{tg }^{2}x}+C}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle \sqrt{1+\textrm{tg }x}+C}\]

Odpowiedź nieprawidłowa
\({\displaystyle \int \frac{ds}{2\sqrt{s}} =\sqrt{s}+C=\sqrt{1+t^{2}}+C=\sqrt{1+\textrm{tg }^{2}x}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{(\textrm{ tg }x +1)\textrm{ tg }x}{\sin x+\cos x}\ dx=\sqrt{1+\textrm{tg }^{2}x}+C}\)

 Polecenie

Oblicz całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \sin^{2}x\textrm{ tg }x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sin^{2}x\textrm{ tg }x\ dx=\frac{1}{2}\ln\left | 1+\textrm{ tg }^{2} x \right |+\frac{1}{2(1+\textrm{ tg }^{2}x)}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \sin^{2}x\textrm{ tg }x\ dx=\begin{vmatrix}
\textrm{ tg }x=t\\
\sin x=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\\
dx=\frac{dt}{1+t^{2}}
\end{vmatrix}=\int \frac{t^{2}}{1+t^{2}}\cdot t\cdot \frac{dt}{1+t^{2}}=\int \frac{t^{3}\ dt}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\int \frac{t^{2}\cdot 2t\ dt}{(1+t^{2})^{2}}=\begin{vmatrix}
1+t^{2}=s\\
2tdt=ds\\
t^{2}=s-1
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\int \frac{(s-1)\ ds}{s^{2}}=\frac{1}{2}\int \frac{s}{s^{2}}\ ds+\frac{1}{2}\int \frac{(-1)}{s^{2}}\ ds=\frac{1}{2}\int \frac{1}{s}\ ds+\frac{1}{2}\int \frac{(-1)}{s^{2}}\ ds=\frac{1}{2}\ln\left | s \right |+\frac{1}{2s}+C=\frac{1}{2}\ln\left | 1+t^{2} \right |+\frac{1}{2(1+t^{2})}+C=\frac{1}{2}\ln\left | 1+\textrm{ tg }^{2} x \right |+\frac{1}{2(1+\textrm{ tg }^{2}x)}+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{\sin x}{3+\cos x}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{\sin x}{3+\cos x}\ dx=-\ln\left | 3+\cos x \right |+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{\sin x}{3+\cos x}\ dx=\begin{vmatrix}
\cos x=t\\
-\sin x\ dx=dt\\
\sin x\ dx=-dt
\end{vmatrix}=-\int \frac{dt}{3+t}=-\ln\left | 3+t \right |+C=-\ln\left | 3+\cos x \right |+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\cos^{5}x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\cos^{5}x\ dx=\frac{\sin^{4}x}{4}-\frac{\sin^{6}x}{3}+\frac{\sin^{8}x}{8}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\cos^{5}x\ dx=\int \sin^{3}x\left (\cos^{2}x  \right )^{2}\cos x\ dx=\int \sin^{3}x\left (1-\sin^{2}x  \right )^{2}\cos x\ dx=\begin{vmatrix}
\sin x=t\\
\cos x\ dx=dt
\end{vmatrix}=\int t^{3}\left ( 1-t^{2} \right )^{2}\ dt=\int t^{3}\left ( 1-2t^{2}+t^{4} \right )\ dt= \int \left (t^{3}-2t^{5}+t^{7}  \right ) \ dt=\frac{t^{4}}{4}-2\cdot \frac{t^{6}}{6}+\frac{t^{8}}{8}+C=\frac{\sin^{4}x}{4}-\frac{\sin^{6}x}{3}+\frac{\sin^{8}x}{8}+C}\)

 Polecenie

Rozwiąż zadania 1-6 korzystając z metod całkowania funkcji trygonometrycznych.
Uwaga
W zadaniach 1-6 poprawna jest dokładnie jedna odpowiedź. Wybierz ją i sprawdź klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Licząc całkę \({\displaystyle \int \sin^{2}x\ dx}\) otrzymamy:

Zadanie 2

Całkę \({\displaystyle \int \textrm{ tg }x\ dx}\) najłatwiej obliczyć przez podstawienie:

Zadanie 3

Całkę \({\displaystyle \int \sin 5x \sin 10x\ dx}\) liczymy korzystając ze wzoru:

Zadanie 4

W wyniku zastosowania wybranego w zadaniu 3 wzoru, całka \({\displaystyle \int \sin 5x \sin 10x\ dx}\) będzie równa:

Zadanie 5

Całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{\sin x -4}}\) możemy obliczyć w prosty sposób przez podstawienie uniwersalne \({\displaystyle \textrm{ tg }\frac{x}{2} =t}.\) Otrzymamy wówczas:

Zadanie 6

Całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{1-3\sin^{2} x}}\) najłatwiej rozwiązać przez podstawienie:

Podsumowanie