Zadanie 9.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 9. Całka oznaczona
  3. Zadanie 9.3

 Polecenie

Oblicz całki oznaczone metodą całkowania przez części.

 Wskazówki

Twierdzenie (o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych)

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają ciągłe pochodne na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle,\) to
\[{\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\ dx=\Big [ f(x)g(x)\Big ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\ dx}.\]

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystając z  \({\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\ dx=\Big [ f(x)g(x)\Big ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\ dx}\)  dostaniemy:
\({\displaystyle \int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx= \begin{vmatrix}
f(x)=\ln x^{2} & g'(x)=x\\
f'(x)=\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x & g(x)=\frac{x^{2}}{2}
\end{vmatrix}=
\Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\int_{0}^{e} \left (\frac{2}{x}\cdot \frac{x^{2}}{2}  \right )\ dx=\Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\int_{0}^{e} x\ dx=\Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\Big [ \frac{x^{2}}{2} \Big ]_{0}^{e}=\left (\frac{e^{2}}{2}\ln e^{2}-0  \right )-\left ( \frac{e^{2}}{2}-0 \right )=e^{2}-\frac{e^{2}}{2}=\frac{e^{2}}{2}}.\)

Możemy również wyznaczyć całkę nieoznaczoną stosując metodę całkowania przez części oraz mając wynik zastosować twierdzenie Newtona - Leibniza dla odpowiednich granic całkowania.

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx=\frac{e^{2}}{2}}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Aby obliczyć podaną całkę wyprowadzimy najpierw wzór, który potrzebny będzie przy obliczaniu całki z \(\sin^{2}x\) podczas całkowania przez części.
\({\displaystyle \cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x}\\
{\displaystyle \left (1-\sin^{2}x  \right )-\sin^{2}x=\cos 2x}\\
{\displaystyle 1-2\sin^{2}x=\cos 2x}\\
{\displaystyle 1-\cos 2x=2\sin^{2}x}\\
{\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}}\)
Zatem, stosując twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, dostaniemy:
\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\\
f'(x)=1 & g(x)=\frac{2x-\sin 2x}{4}
\end{vmatrix}=\Big [ \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{4}x\sin 2x \Big ]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x \right )\ dx=\frac{\pi^{2}}{2}-\frac{1}{4}\pi \sin 2\pi -0 -\Big[\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{8}\cos 2x \Big ]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}-\left (\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{1}{8}\cos 2\pi -0-\frac{1}{8}\cos 0  \right )= \frac{\pi^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{1}{8}\cos 2\pi +\frac{1}{8}\cos 0=\frac{\pi^{2}}{4}}.\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx=\frac{\pi^{2}}{4}}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Do wyznaczenia całki \({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx}\) wykorzystamy dwukrotnie twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych.
Za \(f\) i \(g'\) podstawiamy takie funkcje, aby zredukować wyrażenie podcałkowe.
Stosując twierdzenie następująco:
\[{\displaystyle \begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-x}\\
f'(x)=2x & g(x)=-e^{-x}
\end{vmatrix}},\]
otrzymamy: \({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=}\)

\[{\displaystyle \Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx }\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \Big [ x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}- 2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx }\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}+ 2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx }\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

W kolejnym kroku stosujemy kolejny raz twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki oznaczonej. Prawidłowym zastosowaniem twierdzenia, prowadzącym do rozwiązania, jest:

\[{\displaystyle \begin{vmatrix}
f(x)=xe^{-x} & g'(x)=1\\
f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-1)e^{-x} & g(x)=0
\end{vmatrix}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \begin{vmatrix}
f(x)=e^{-x} & g'(x)=x\\
f'(x)=-e^{-x} & g(x)=\frac{x^{2}}{2}
\end{vmatrix}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{-x}\\
f'(x)=1 & g(x)=-e^{-x}
\end{vmatrix}}\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

W wyniku powyższych działań otrzymamy \({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=}\)

\[{\displaystyle \Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle\Big [ -x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+4e^{-x}\Big ]_{0}^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle\Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4

Podstawiając górną i dolą granicę całkowania dostaniemy: \({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=\Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}=}\)

\[{\displaystyle -4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}-2=-10e^{-2}-2}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle -4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2=-10e^{-2}+2}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle -4e^{-2}+4e^{-2}-2e^{-2}+2=-2e^{-2}+2}\]

Odpowiedź nieprawidłowa
\({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx= \begin{vmatrix}
f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-x}\\
f'(x)=2x & g(x)=-e^{-x}
\end{vmatrix}=\Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}+2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx= \begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{-x}\\
f'(x)=1 & g(x)=-e^{-x}
\end{vmatrix}=\Big [ -2^{2}e^{-2}-0\Big ]+2\Big[ -xe^{-x}\Big]_{0}^{2}+2\int_{0}^{2}e^{-x}\ dx= -4e^{-2}+2\Big[ -2e^{-2}-0\Big]+2\Big [ -e^{-x}\Big ]_{0}^{2}= -4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2\cdot e^{0}=-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2=-10e^{-2}+2}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=-10e^{-2}+2}\)

 Polecenie

Oblicz całki oznaczone metodą całkowania przez części.

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx=3\ln 3-2}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=x & g'(x)=e^{x}\\
f'(x)=1 & g(x)=e^{x}
\end{vmatrix}=\Big[ xe^{x}\Big]_{0}^{\ln 3}- \int_{0}^{\ln 3}e^{x}\ dx=\Big[ xe^{x}-e^{x}\Big]_{0}^{\ln 3}=\ln 3\cdot e^{\ln 3}-e^{\ln 3}-(0\cdot e^{0}-e^{0})=3\ln 3-3+1=3\ln 3-2}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=\textrm{ arctg }x & g'(x)=1\\
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} & g(x)=x
\end{vmatrix}=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\ dx=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^{2}}\ dx=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\Big [ \frac{1}{2}\ln (1+x^{2}) \Big ]_{0}^{1}=1\textrm{ arctg }1-0-\frac{1}{2}\left ( \ln(1+1)-\ln 1 \right )=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}(\ln 2-0)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{8}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\begin{vmatrix}
f(x)=\ln x & g'(x)=\frac{1}{x}\\
f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\ln x
\end{vmatrix}=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx}\\
\\
{\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx}\\
{\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx+\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}}\\
{\displaystyle 2\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}} \ \ /:2}\\
{\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{2}\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}}\\
{\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{2}\left ( \ln^{2}\sqrt{e} -\ln^{2} 1  \right )=\frac{1}{2}\left (\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-0  \right )=\frac{1}{8}}\\\)
W zadaniach 1-5 dokładnie jedna odpowiedź jest prawidłowa. Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź jej poprawność klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Całkę \({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\ dx}\) obliczymy, korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, w następujący sposób:

Zadanie 2

Stosując twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych dla całki \({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\ dx},\) otrzymamy:

Zadanie 3

Całka \({\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x \cos x\ dx}\) jest równa:

Zadanie 4

\({\displaystyle \int_{1}^{\sqrt {e}}x^{5}\ln x\ dx=}\)

Zadanie 5

Która z całek jest równa \(2e(1+e)\)?

Podsumowanie