Zadanie 4.1.2.6
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- masa kuli \(m=5\,\mathrm{kg}\),
- wysokość, z jakiej spadła kula \(h=20\,\mathrm{m}\),
- głębokość, na jaką zagłębiła się kula w piasku \(d=5\,\mathrm{cm}=0,05\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).
Szukane:
- praca siły oporu \(W\),
- wartość siły oporu \(F\),
- czas hamowania kuli \(t\).
Odpowiedź
Średnia wartość siły oporu działającej w piasku na kulę wynosi \(F=20\,\mathrm{kN}\). Siła ta wykonała pracę \(W=-1\,\mathrm{kJ}\). Kulka wyhamowała w czasie \(5\,\mathrm{ms}\).
Polecenie
Oblicz wartość pracy wykonaną przeciwko siłom oporu. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.
\(W=-1\,\mathrm{kJ}\)
\(W=0\,\mathrm{J}\)
Rozwiązanie
Kula spadając uzyskuje prędkość na skutek zamiany energii potencjalnej na energię kinetyczną. W czasie zagłębiania się kuli w ziemi, jej energia kinetyczna maleje do zera na skutek działania na kulę w piasku siły oporu. Wartość bezwzględna pracy siły oporu jest równa energii kinetycznej kuli tuż przed uderzeniem w piasek. Zgodnie z prawem zachowania energii, energia kinetyczna kuli, tuż przed uderzeniem w piasek, jest równa jej początkowej energii potencjalnej. Pracę siły oporu w czasie ruchu w piasku obliczymy z definicji pracy stałej siły przyjmując, że siła oporu jest stała. Kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku ruchu kuli w piasku, czyli przeciwny do przesunięcia.
Zgodnie z definicją siła oporu w piasku wykonuje pracę równą:
gdzie znak „-” wynika z tego, że kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku przesunięcia (kąt między nimi wynosi \(180^{\circ}\)).
W momencie uderzenia o piasek kula posiadała energię kinetyczną \(E_k\), którą uzyskała w wyniku zamiany jej początkowej energii potencjalnej \(E_p=mgh\) na energię kinetyczną, czyli
W czasie zagłębiania się w piasku energia kinetyczna kulki jest zamieniana na pracę przeciw siłom oporu. Zgodnie prawem zachowania energii, wartość bezwzględna tej pracy jest równa energii kinetycznej \(E_k\) kuli przed uderzeniem w piasek.
Polecenie
Oblicz wartość siły oporu działającej w piasku na kulę. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.
Rozwiązanie
Znając pracę siły oporu możemy wyznaczyć jej wartość:
Polecenie
Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kuli. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.
Rozwiązanie
Przystąpmy obecnie do wyznaczenia czasu, w jakim kula wyhamowała w piasku. Czas ten będziemy liczyli od momentu uderzenia kuli o piasek. Zgodnie z założeniem, w czasie ruchu kuli w piasku, działa na nią stała siła. Zgodnie z II zasadą dynamiki kula w piasku będzie poruszała się ruchem jednostajnie opóźnionym z pewnym opóźnieniem (równym bezwzględnej wartości przyspieszenia)
Skorzystajmy teraz z zależności prędkości od czasu dla ruchu jednostajnie opóźnionego z prędkością początkową \(v_0\) i prędkością końcową \(v_k=0\). Otrzymamy w ten sposób układ dwu równań z dwiema niewiadomymi:
Po podstawieniu wartości uzyskanej z pierwszego równania \(v_0=at\) do drugiego, otrzymujemy:
Odpowiedź
Średnia wartość siły oporu działającej w piasku na kulę wynosi \(F=20\,\mathrm{kN}\). Siła ta wykonała pracę \(W=-1\,\mathrm{kJ}\). Kulka wyhamowała w czasie \(5\,\mathrm{ms}\).