Zadanie 1.3.1.1
Iloczyn skalarny
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory: \(\vec{a}=-\hat{i}+3\, \hat{j}+2\, \hat{k}\) oraz \( \vec{b}=-2\, \hat{i}-3\, \hat{k}\). Obliczyć iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ (\vec{b}-2\, \vec{a})\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - iloczyn skalarny
W układzie kartezjańskim definicję iloczynu skalarnego można zapisać jako:
gdzie \(\vec{a}=x_a\,\hat{i}+y_a\,\hat{j}+ z_a\,\hat{k}\)
oraz \(\vec{b}=x_b\,\hat{i}+y_b\,\hat{j}+ z_b\,\hat{k}\)
lub \(\vec{a}\circ\vec{b}=ab\: \cos\,\varphi\), gdzie \(a\) i \(b\) są długościami wektorów, a \(\varphi\) jest kątem między nimi.
Wynikiem iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest liczba rzeczywista.
Własności iloczynu skalarnego:
• \(\vec{a}\circ \vec{b}= \vec{b}\circ \vec{a}\)
• \((\alpha\, \vec{a})\circ\vec{b}=\alpha\,(\vec{a}\circ\vec{b})\)
• \((\vec{a}+\vec{b})\circ\vec{c}=(\vec{a}\circ\vec{c})+(\vec{b}\circ\vec{c})\)
• \(\vec{a}\circ\vec{a}>0;\; \; \vec{a}\circ\vec{a}=0\Leftrightarrow\vec{a}=0\)
\(\vec{a}\circ \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}\),
gdzie \(\vec{a}=x_a\,\hat{i}+y_a\,\hat{j}+ z_a\,\hat{k}\)
oraz \(\vec{b}=x_b\,\hat{i}+y_b\,\hat{j}+ z_b\,\hat{k}\)
lub \(\vec{a}\circ\vec{b}=ab\: \cos\,\varphi\), gdzie \(a\) i \(b\) są długościami wektorów, a \(\varphi\) jest kątem między nimi.
Wynikiem iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest liczba rzeczywista.
Własności iloczynu skalarnego:
• \(\vec{a}\circ \vec{b}= \vec{b}\circ \vec{a}\)
• \((\alpha\, \vec{a})\circ\vec{b}=\alpha\,(\vec{a}\circ\vec{b})\)
• \((\vec{a}+\vec{b})\circ\vec{c}=(\vec{a}\circ\vec{c})+(\vec{b}\circ\vec{c})\)
• \(\vec{a}\circ\vec{a}>0;\; \; \vec{a}\circ\vec{a}=0\Leftrightarrow\vec{a}=0\)
Dane i szukane
Dane:
- współrzędne wektora pierwszego \(\vec{a}=-\hat{i}+3\, \hat{j}+2\, \hat{k}\),
- współrzędne wektora drugiego \( \vec{b}=-2\, \hat{i}-3\, \hat{k}\).
Szukane:
- iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ (\vec{b}-2\, \vec{a})\).
Rozwiązanie
Zadanie można rozwiązać w dwóch etapach:
Krok 1: wyznaczenie wektora \(\vec{c}=\vec{b}-2\, \vec{a}\)
Krok 2: korzystając z własności iloczynu skalarnego wyznaczamy iloczyn \(\vec{a}\circ\vec{c}\)
Obliczenia:
Krok 1:
\(\vec{c}=\vec{b}-2\, \vec{a}=-2\hat{i}-3\hat{k}-2(-1\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})\)
\(\vec{c}=(-2+2)\hat{i}+(0-6)\hat{j}+(-3-4)\hat{k}=0\hat{i}-6\hat{j}-7\hat{k}\)
\(\vec{c}=-6\hat{j}-7\hat{k}\)
Krok 2:
\(\vec{a}\circ \vec{c}=(-1\hat{i}+3\, \hat{j}+2\, \hat{k})(0\hat{i}-6\hat{j}-7\hat{k})\)
\(\vec{a}\circ \vec{c}=-1\cdot 0+3\cdot(-6)+2\cdot(-7)=0-18-14=-32\)
Odpowiedź
Iloczyn skalarny wynosi \(\vec{a}\circ (\vec{b}-2\, \vec{a})=-32\).