Zadanie 1.3.1.2
Prostopadłość dwóch wektorów
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory: \(\vec{a}=3\hat{i}+4\, \hat{j}+5\, \hat{k}\) oraz \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}\). Czy linie proste, na których one leżą, są do siebie prostopadłe?
Wskazówka teoretyczna
Teoria – prostopadłość dwóch wektorów
Jeśli \(\vec{a}\circ \vec{b}=0\) oraz długości wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) są różne od zera, wówczas wektory te nazywamy ortogonalnymi.
Dane
- współrzędne wektora pierwszego \(\vec{a}=3\hat{i}+4\, \hat{j}+5\, \hat{k}\)
- współrzędne wektora drugiego \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}\)
Rozwiązanie
Należy sprawdzić czy linie proste, na których leżą wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) są do siebie prostopadłe. Oznacza to, że trzeba sprawdzić, czy wektory te są do siebie prostopadłe. Najprościej można to zrobić wyliczając iloczyn skalarny tych wektorów. Jeżeli okaże się, że jest on równy zero, to będzie to oznaczało, iż wektory są do siebie prostopadłe. W przeciwnym razie kąt między wektorami będzie różny od prostego.
Iloczyn skalarny wynosi:
\(\vec{a}\circ \vec{b}=(3\, \hat{i}+4\, \hat{j}+5\, \hat{k})(-1\, \hat{i}+0\, \hat{j}+1\, \hat{k})\)\(\vec{a}\circ \vec{b}=3\cdot(-1)+4\cdot0+5\cdot1=-3+0+5=2\)
Odpowiedź
Iloczyn skalarnych wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) wynosi \(2\), więc wektory te nie są do siebie prostopadłe.