Zadanie 1.1.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 1. Logika
  3. 1.1 Zdania logiczne
  4. Zadanie 1.1.3

 Polecenie

Zapisz przy użyciu spójników "\(\wedge\)", "\(\vee\)" rozwiązanie równań i nierówności:

Uwaga

Aby rozwiązać podane równania lub nierówności należy przypomnieć sobie podstawowe wiadomości dotyczące funkcji liniowej, kwadratowej czy wymiernej.
(Dostępne w dziale 3. FUNKCJE)

 Ćwiczenia

\( 1. \quad\left ( 2x-6 \right )\left ( -x+4 \right )=0\)

 Rozwiązanie

Jest to równanie kwadratowe ale już w postaci iloczynowej. Aby rozwiązać takie równanie wystarczy każdy z czynników iloczynu po lewej stronie przyrównać do \(0\). Lewa strona równania będzie równa \(0\), jeśli co najmniej jeden z czynników po lewej stronie równania będzie równy \(0\) ale wystarczy tylko jeden (stąd pomiędzy spójnik "∨" czyli „lub”).
Zatem: \(2x-6=0\)  \(\vee\)  \( -x+4=0\).
Rozwiązujemy równania liniowe przez dodanie/odjęcie stronami stałych: \(2x=6 \vee -x=-4\)
oraz podzieleniu pierwszego równania obustronnie przez \(2\), a drugiego przez \(-1\):  \(x=3 \vee x=4\).

 Odpowiedź

\(x=3 \vee x=4\).
\( 2. \quad\left ( a-1 \right )\left ( b+1 \right )\neq 0\)

 Rozwiązanie

Podobnie jak w podpunkcie 1 musimy przyrównać do \(0\) każdy z czynników iloczynu po lewej stronie równania z tym, że lewa strona ma być teraz różna od \(0\). Iloczyn dwóch liczb będzie różny od \(0\) tylko wtedy, jeżeli każdy z tych czynników będzie różny od \(0\). musimy więc użyć pomiędzy założeniami spójnika "\( \wedge \)" czyli "i".
Mamy zatem:
\(\left ( a-1 \right )\left ( b+1 \right )\neq 0\)  \(\ \Leftrightarrow \)
\(a-1 \neq 0 \wedge  b+1\neq 0\) \(\ \Leftrightarrow \)
\(a\neq 1 \wedge b\neq -1\).

 Odpowiedź

\(a\neq 1 \wedge b\neq -1\)
\( 3. \quad \displaystyle\frac{x-2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}< 0\)

 Rozwiązanie

Jest to funkcja wymierna jednej zmiennej \(x\), zatem lewą stronę równania musimy przekształcić na iloczyn licznika i mianownika (gdyż iloczyn dwóch liczb ma ten sam znak co iloraz tych samych liczb). Zatem przy założeniu, że mianownik ułamka jest różny od zera czyli \(x\neq -2\sqrt{2}\) mamy:
 

\(\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right )< 0. \)

Najpierw rozwiązujemy równanie:

\(\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right )= 0 \Leftrightarrow\)

\( x-2\sqrt{2}=0  \vee  x+2\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow\)

\( x=2\sqrt{2} \vee  x=-2\sqrt{2}.\)

Ponieważ jest to nierówność nie możemy od razu wykluczyć drugiego rozwiązania. Najpierw szkicujemy wykres (wystarczy pomocniczy).

Parabola
Liczbę \(x=-2\sqrt{2}\) wykluczamy ze zbioru rozwiązań, gdyż nie jest elementem dziedziny wyjściowej funkcji wymiernej. Zauważmy, że dana funkcja przyjmuje wartości mniejsze od \(0\) dla \(x\in \left (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2} \right )\).
W zadaniu mamy użyć spójników zdaniowych zatem nierówność jest spełniona dla \(x> -2\sqrt{2} \wedge x< 2\sqrt{2}\).

 Odpowiedź

\[x> -2\sqrt{2} \wedge x< 2\sqrt{2}\]
\( 4. \quad \displaystyle\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}\left ( a-b \right )\geq 0\)

 Rozwiązanie

Jest to również funkcja wymierna ale czterech zmiennych.
Na początku wyznaczmy dziedzinę, co jest konieczne w przypadku każdej funkcji wymiernej (a także innej, której dziedziną nie jest \(\mathbb{R}\)).
Założenie musi wyglądać następująco: \(x-y\neq 0\) czyli \(x\neq y\).
Wyrażenie w liczniku możemy przekształcić stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \(x^{2}-y^{2}=\left ( x-y \right )\left ( x+y \right ).\) Zatem \[\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}\left ( a-b \right )= \frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )}{x-y}\left ( a-b \right ).\] Nierówność wyjściowa ma zatem postać \(\Large{\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )}{x-y}}\normalsize{\left ( a-b \right )\geqslant 0}\)  dla każdego \(x\neq y.\)
Ponieważ znak ilorazu pewnych czynników jest taki sam jak ich iloczyn, zatem nierówność możemy zapisać w postaci:
\[\left ( x-y \right )^{2}\left ( x+y \right )\left ( a-b \right )\geq 0.\]
Teraz musimy zastanowić się kiedy iloczyn trzech czynników będzie nieujemny. Czynnik \(\left ( x-y \right )^{2}\) dla \(x\neq y\) jest zawsze dodatni dlatego wystarczy przeanalizować znaki dwóch czynników. Iloczyn dwóch czynników będzie nieujemny, gdy oba czynniki będą nieujemne lub oba niedodatnie. Zatem zapisując te warunki symbolicznie mamy:
\[\left [ x+y\geqslant 0 \wedge a-b\geqslant 0 \right ]\vee \left [ x+y\leq 0 \wedge a-b\leq 0 \right ],\]
co możemy zapisać w prostszej postaci oraz uwzględniając założenie:
\[\left [ x\geqslant-y \wedge a\geqslant b \wedge x\neq y\right ] \vee \left [ x\leq-y \wedge a\leq b \wedge x\neq y\right ].\]

 Odpowiedź

(W każdym układzie między warunkami domyślnie jest spójnik „\(\wedge \)”.)
\[\left\{\begin{matrix}x\geq -y\\a\geq b\\x\neq y\end{matrix}\right.\vee\left\{\begin{matrix}x\leq -y\\a\leq b\\x\neq y\end{matrix}\right..\]
\( 5. \quad\left ( x-\sqrt{7} \right )\left ( 2x+\sqrt{2} \right )\geq 0\)

 Rozwiązanie

 Krok 1/4

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej z lewej strony nierówności są liczby:
(wybierz dokładnie jedną prawidłową odpowiedź)

\(x= \sqrt{7}\vee x=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(x= \sqrt{7}\vee x=-\sqrt{2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x= \sqrt{7}\vee x=-2\sqrt{2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x= \sqrt{7}\vee x=-2\sqrt{2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

 Krok 2/4

Który z wykresów przedstawia daną funkcję kwadratową?
(wybierz jeden prawidłowy wykres)

parabola 1.1.3.2

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

parabola 1.1.3.3

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

parabola 1.1.3.4

Odpowiedź prawidłowa

Parabola 1.1.3.5, dwa miejsca zerowe \(x=-\sqrt{7} \vee x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), ramiona skierowane w górę.

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

 Krok 3/4

Odczytując z wykresu zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne (większe lub równe \(0\)) mamy: (wybierz jedną prawidłową odpowiedź)

\(x\in \left ( -\infty ;-\sqrt{2} \right )\cup \left (\sqrt{7};\infty   \right )\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x\in \left ( -\infty ;-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \right \rangle \cup \left \langle  \sqrt{7};\infty   \right )\)

Odpowiedź prawidłowa

\(x\in \left ( -\infty ;-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\cup \left (\sqrt{7};\infty   \right )\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x\in \left ( -\infty ;\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\cup \left (\sqrt{7};\infty   \right )\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

 Krok 4/4

Odpowiedzią do zadania jest (tylko jedna odpowiedź jest prawidłowa):

\(x\leq -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\vee x\geq -\sqrt{7}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x\leq \sqrt{2}\vee x\geq \sqrt{7}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

\(x\leq -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\vee x\geq \sqrt{7}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(x< -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\vee x> \sqrt{7}\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Wróć do zadania 1.1.3 pkt 3.

Podsumowanie

Wszystkie kroki z zadania 1.1.3.5 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Zapisz przy użyciu spójników "\(\wedge\)", "\(\vee\)" rozwiązanie równań i nierówności:
 

 Ćwiczenia

\( 1. \quad \displaystyle\frac{2-t^{2}}{t-1}= 0\)

 Odpowiedź

\(t= \sqrt{2}\vee  t = -\sqrt{2}\)

 Rozwiązanie

Dziedziną wyrażenia jest \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\), gdyż zakładamy, że \(t-1\neq0 \Leftrightarrow t\neq 1 \).
Przy takim założeniu możemy już pomnożyć obustronnie przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, gdyż wyrażenie będzie równe zero tylko wtedy, gdy mianownik będzie równy zero (w przypadku nierówności nie wolno nam mnożyć stronami przez niewiadomą).
\[\frac{2-t^{2}}{t-1}=0 /\left ( t-1 \right )\]
\[2-t^{2}= 0\]
Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\) .
\[\left ( \sqrt{2}-t\right )\left ( \sqrt{2}+t \right )=0\]
\[ \sqrt{2}-t=0\vee  \sqrt{2}+t=0\]
\[t= \sqrt{2}\vee  t = -\sqrt{2}\]
Sprawdzamy zgodność rozwiązań z dziedziną wyjściowego wyrażenia.
Oba rozwiązania należą do dziedziny, zatem są dwa rozwiązania tego równania.
 
\( 2. \quad\left ( a-3\Pi \right )\left ( 2a-4\Pi  \right )\neq 0\)

 Odpowiedź

\(a\neq 3\Pi \wedge  a\neq 2\Pi\)

 Rozwiązanie

Iloczyn dwóch czynników jest różny od zera jeśli każdy z nich jest różny od zera. Zatem:
\(a-3\Pi\neq 0 \wedge  2a-4\Pi\neq 0\) czyli  \(a\neq 3\Pi \wedge  2a\neq 4\Pi.\)
Musimy jeszcze podzielić drugie równanie obustronnie przez \(2\):
\(a\neq 3\Pi \wedge  a\neq 2\Pi .\)
\( 3. \quad16y^{2}-9x^{2}< 0\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma dwóch układów nierówności
\[\left\{\begin{matrix}
y> \displaystyle\frac{3}{4}x\\
y<  -\displaystyle\frac{3}{4}x
\end{matrix}\right.
\vee
\left\{\begin{matrix}
y< \displaystyle\frac{3}{4}x\\
y> -\displaystyle\frac{3}{4}x
\end{matrix}\right.\]

 Rozwiązanie

Wystarczy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i przeanalizować warunki zadania.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów  \(a^{2}-b^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a-b \right )\)  mamy:
\(\left ( 4y-3x \right )\left ( 4y+3x \right )< 0.\)
Iloczyn dwóch czynników będzie ujemny jeśli dokładnie jeden z nich będzie ujemny: pierwszy lub drugi): \(\left [ 4y-3x > 0 \wedge 4y+3x< 0 \right ]\) \(\vee\) \(\left [ 4y-3x< 0 \wedge 4y+3x > 0 \right ].\) Co równoznacznie możemy zapisać za pomocą alternatywy dwóch układów równań:
\(\left\{\begin{matrix} 4y-3x > 0\\ 4y+3x< 0 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} 4y-3x< 0\\ 4y+3x > 0 \end{matrix}\right.\).
Rozwiązując powyższe układy dostajemy: \(\left\{\begin{matrix} y> \displaystyle\frac{3}{4}x\\ y< -\displaystyle\frac{3}{4}x \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} y< \displaystyle\frac{3}{4}x\\ y> -\displaystyle\frac{3}{4}x \end{matrix}\right.\).
Graficznie mamy prawdopodobnie do czynienia z sumą dwóch obszarów ale przedstawianie interpretacji graficznej rozwiązania nie jest przedmiotem zadania.

Rozwiąż zadania wybierając dokładnie jedną prawidłową odpowiedź. Możesz sprawdzić poprawność swojej odpowiedzi klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Rozwiązaniem równania \(\left ( x-4 \right )\left ( x+2 \right )=0\) są liczby

Zadanie 2

Jakie założenia muszą być spełnione aby zdanie postaci \(\left ( 2a-4 \right )\left ( 3b+6 \right )\neq 0\) było prawdziwe?

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność i wybierz właściwą odpowiedź \(\displaystyle\frac{2t-\sqrt{3}}{2t+\sqrt{3}}\leq 0.\)

Zadanie 4

Rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle\frac{a^{2}+a-6}{a^{2}-4}> 0,\) uwzględniając odpowiednie założenia, jest zbiór liczb spełniających warunki:

Podsumowanie