Zadanie 9.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 9. Całka oznaczona
  3. Zadanie 9.2

 Polecenie

Oblicz całki oznaczone, korzystając z twierdzenia Newtona - Leibnitza.

 Wskazówki

Twierdzenie Newtona - Leibniza ( I główne twierdzenie rachunku całkowego)

Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle,\) to
\[{\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx=F(b)-F(a)},\]
gdzie  \(F\) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji \(f\) na tym przedziale.

Uwaga. Zamiast \(F(b)-F(a)\) będziemy też używać zapisu \({\displaystyle F(x)  \Big |^{b}_{a} } \) lub \({\displaystyle \Big [F(x) \Big ]^{b}_{a}}.\)

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{1}^{3}(x-5)\ dx}\)

 Rozwiązanie

Wystarczy, że skorzystamy z twierdzenia Newtona - Leibniza, licząc wcześniej elementarną całkę nieoznaczoną. Szukamy funkcji pierwotnej do \(f\) i potrzebna nam tylko jedna funkcja pierwotna, a nie cała rodzina, zatem zapisujemy ją bez stałej \(C.\)
\({\displaystyle \int_{1}^{3}(x-5)\ dx = \left ( \frac{x^{2}}{2}-5x \right )\Big |^{3}_{1}=\left ( \frac{3^{2}}{2}-5\cdot 3 \right )-\left ( \frac{1^{2}}{2}-5\cdot 1 \right )=4\frac{1}{2}-15-\frac{1}{2}+5=-6}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{3}(x-5)\ dx =-6}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{-\pi}^{0}\cos x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia Newtona - Leibniza oraz ze wzoru na całkę nieoznaczoną \({\displaystyle \int \cos x\ dx =\sin x +C}.\)
\({\displaystyle \int_{-\pi}^{0}\cos x\ dx= \sin x \Big |^{0}_{-\pi}=\sin 0 - (\sin (-\pi))=0+0=0 }\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{-\pi}^{0}\cos x\ dx=0 }\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\left ( \sqrt[3]{x^{2}}-4x \right )\ dx}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\left ( \sqrt[3]{x^{2}}-4x \right )\ dx=\int_{0}^{1}\left ( {x^{\frac{2}{3}}}-4x \right )\ dx=\Big[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}-\frac{4x^{2}}{2} \Big]^{1}_{0}=\frac{3}{5}-2-0+0=-\frac{7}{5}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{1}\left ( \sqrt[3]{x^{2}}-4x \right )\ dx=-\frac{7}{5}}\)

 Całka 4

\({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby wyznaczyć podaną całkę oznaczoną, musimy najpierw wyliczyć całkę nieoznaczoną \({\displaystyle \int\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx}.\)
Wyznaczamy tą całkę doprowadzając licznik ułamka do takiej postaci, aby mieć sumę pochodnej mianownika i pewnej stałej. Rozbijając na sumę dwóch całek otrzymamy:

\[{\displaystyle \int\frac{2x}{x^{2}+x}\ dx+\int\frac{2}{x^{2}+x}\ dx}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \int\frac{2x+1}{x^{2}+x}\ dx+\int\frac{1}{x^{2}+x}\ dx}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle \int\frac{x+2}{x^{2}+x}\ dx+\int\frac{x}{x^{2}+x}\ dx}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\ln\left | f(x) \right |+C},\) wyznaczając wartość pierwszej całki. Aby obliczyć drugą, musimy zastosować rozkład na ułamki proste \[{\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}}.\] 
Wykonując oba kroki otrzymamy \({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx=}\)

\[{\displaystyle \Big [\ln\left | x^{2}+x \right |+\ln \left | x \right |-\ln \left | x+1 \right |  \Big ]^{e}_{1}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[{\displaystyle \Big [\ln\left | x^{2}+x \right |+2\ln \left | x \right |-\ln \left | x+1 \right |  \Big ]^{e}_{1}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[{\displaystyle \Big [\ln\left | x^{2}+x \right |-\ln \left | x \right |-\ln \left | x+1 \right |  \Big ]^{e}_{1}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa
\({\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}}\\
1=A(x+1)+Bx\\
x=0\\
1=A\\
x=-1\\
1=B(-1)=-B\\
B=-1\\
{\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}}\)
Zatem
\({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx=\int_{1}^{e} \frac{2x+1}{x^{2}+x}\ dx+\int\frac{1}{x^{2}+x}\ dx=\int_{1}^{e} \frac{2x+1}{x^{2}+x}\ dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\ dx- \int_{1}^{e}\frac{-1}{x+1}\ dx =\Big [\ln\left | x^{2}+x \right |+\ln \left | x \right |-\ln \left | x+1 \right |  \Big ]^{e}_{1}}\)

 Krok 3

Korzystając z twierdzenia Newtona - Leibniza otrzymamy:

\[1\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[e\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[2\]

Odpowiedź prawidłowa
\({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx=\int\frac{2x+1}{x^{2}+x}\ dx+\int\frac{1}{x^{2}+x}\ dx= \Big [\ln\left | x^{2}+x \right |+\ln \left | x \right |-\ln \left | x+1 \right |  \Big ]^{e}_{1}=\ln (e^{2}+e)+\ln e-\ln (e+1)-\left ( \ln 2 +\ln 1 - \ln 2 \right )=\ln (e^{2}+e)+ 1-\ln (e+1)\cancel{-\ln 2} -0 + \cancel{\ln 2}=\ln \frac{e^{2}+e}{e+1}+ 1=\ln \frac{e\cancel{(e+1)}}{\cancel{(e+1)}}+ 1=\ln e+1=1+1=2}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{2x+2}{x^{2}+x}\ dx=2}\)

 Polecenie

Oblicz całki oznaczone, korzystając z twierdzenia Newtona - Leibnitza.

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{2}x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{2}x\ dx=\frac{\pi}{4}}\)

 Rozwiązanie


Aby obliczyć całkę \({\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{2}x\ dx}\) bez wzorów rekurencyjnych i podstawiania, stosujemy wzory trygonometryczne i wyznaczamy \(\cos^{2}x\).
\({\displaystyle \cos 2x =\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos^{2}x-(1-\cos^{2}x)=2\cos^{2}x-1}\\
{\displaystyle  2\cos^{2}x=\cos 2x+1}\\
{\displaystyle  \cos^{2}x=\frac{\cos 2x+1}{2}}.\)
Zatem stosując powyższy wzór:
\({\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{2}x\ dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos 2x+1}{2}\ dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2x\ dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ dx=\frac{1}{4}\Big [\sin 2x \Big ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\Big [x  \Big ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{4}\Big [ \sin \pi - \sin 0 \Big ]+\frac{1}{2}\Big[ \frac{\pi}{2}-0 \Big ]=\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}}.\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\ dx=\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^{2}+1-2}{x^{2}+1}\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}\ dx-2\int_{0}^{\sqrt{3}}
\frac{\ dx}{x^{2}+1}=\Big [ x\Big ]_{0}^{\sqrt{3}}-2\Big [ \textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2(\textrm{ arctg }\sqrt{3} - \textrm{ arctg } 0)=\sqrt{3}-2\left ( \frac{\pi}{3}-0 \right )=\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{1}^{4}\frac{2}{3\sqrt{x}}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{4}\frac{2}{3\sqrt{x}}\ dx=\frac{4}{3}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{1}^{4}\frac{2}{3\sqrt{x}}\ dx=\frac{2 \cdot 2}{3} \int_{1}^{4}\frac{\ dx}{2\sqrt{x}}=\frac{4}{3} \Big [ \sqrt{x}\Big ]_{1}^{4}=\frac{4}{3}\left ( 2-1 \right )=\frac{4}{3}}\)
Dobierz odpowiednie kafelki i poukładaj je w takiej kolejności, aby tworzyły rozwiązanie podanej całki oznaczonej.
Dobierz odpowiednie kafelki i poukładaj je w takiej kolejności, aby tworzyły rozwiązanie podanej całki oznaczonej.
Dobierz odpowiednie kafelki i poukładaj je w takiej kolejności, aby tworzyły rozwiązanie podanej całki oznaczonej.