Zadanie 2.3.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.3 Dwumian Newtona
  4. Zadanie 2.3.1

 Polecenie

Oblicz, korzystając z wzoru dwumianowego Newtona.

 Wskazówki

Wzór dwumianowy Newtona

Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a,b\) i dowolnej liczby naturalnej \(n\) zachodzi następujący wzór na \(n\)–tą potęgę dwumianu
\[\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\] lub inaczej
\[\left ( a+b \right )^{n}=\binom{n}{0}a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+...+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^{n}.\]
\(\displaystyle\binom{n}{k}\) (czyt. "\(n\) po \(k\)") oznacza symbol Newtona, \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!},\] gdzie \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot \left ( n-1 \right )\cdot n.\)
Podpowiedź
\[\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1,\quad \quad \binom{n}{n-1}=\binom{n}{1}=n, \quad \quad\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\]

 Przykłady


\( 1.\quad \Large{\sum\limits_{k=1}^{9}} \normalsize{x^{k}y^{10-k} =xy^{9}+x^{2}y^{8}+x^{3}y^{7}+x^{4}y^{6}+x^{5}y^{5}+x^{6}y^{4}+x^{7}y^{3}+x^{8}y^{2}+x^{9}y}\)

\( 2.\quad 1+ \Large{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\sum\limits_{i=1}^{5}\frac{1}{2i-1} }\)

\( 3.\quad   \Large{\sum\limits_{k=1}^{n}} \normalsize{3^{2k}=3^{2}+3^{4}+3^{6}+\cdots +3^{2n}}\)

\( 4.\quad  \Large{ \sum\limits_{k=6}^{7}} \normalsize{(k+1)a^{k}b^{k-1}=(6+1)a^{6}b^{6-1}+(7+1)a^{7}b^{7-1}=7a^{6}b^{5}+8a^{7}b^{6}=a^{6}b^{5}(7+8ab)}\)

 Ćwiczenia

\( 1. \quad \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \)

 Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona dla \(a=1\) i \(b=1\) mamy:
\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}1^{k}= (1+1)^{n}=2^{n}.\]
 

 Odpowiedź

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}\)
\(2.\quad \displaystyle\binom{n}{0}-\binom{n}{1}\cdot 2+\binom{n}{2}\cdot 4-\binom{n}{3}\cdot 8+\cdots +\binom{n}{n-1}(-2)^{n-1}+\binom{n}{n}(-2)^{n}\)

 Rozwiązanie

Wyrażenie
\[\binom{n}{0}-\binom{n}{1}\cdot 2+\binom{n}{2}\cdot 4-\binom{n}{3}\cdot 8+\cdots +\binom{n}{n-1}(-2)^{n-1}+\binom{n}{n}(-2)^{n}\]
zapisujemy w takiej postaci, aby skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona, najpierw używając symbolu \(\Large \sum\).
\[\binom{n}{0}1^{n}\cdot (-2)^{0}+\binom{n}{1} 1^{n-1}\cdot(-2)^{1}+\binom{n}{2} 1^{n-2}\cdot(-2)^{2}+\binom{n}{3} 1^{n-3}\cdot(-2)^{3}+\cdots +\binom{n}{n-1} 1^{1}\cdot(-2)^{n-1}+\binom{n}{n} 1^{0}\cdot(-2)^{n}=\\=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot (-2)^{k}.\]
Dla \(a=1\) oraz  \(b=-2\) korzystamy ze wzoru Newtona.
\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot (-2)^{k}= (1-2)^{n}=(-1)^{n}.\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle{\binom{n}{0}-\binom{n}{1}\cdot 2+\binom{n}{2}\cdot 4-\binom{n}{3}\cdot 8+\cdots +\binom{n}{n-1}(-2)^{n-1}+\binom{n}{n}(-2)^{n}=(-1)^{n}}\)
\( 3. \quad \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{6}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru Newtona
\[\left (\sqrt{2}+1 \right )^{6}= \sum_{k=0}^{6}\binom{n}{k}\sqrt{2}^{n-k}1^{k}\]
i rozpisujemy:
\[\binom{6}{0}\sqrt{2}^{6-0}1^{0}+\binom{6}{1}\sqrt{2}^{6-1}1^{1}+\binom{6}{2}\sqrt{2}^{6-2}1^{2}+\binom{6}{3}\sqrt{2}^{6-3}1^{3}+\binom{6}{4}\sqrt{2}^{6-4}1^{4}+\binom{6}{5}\sqrt{2}^{6-5}1^{5}+\binom{6}{6}\sqrt{2}^{6-6}1^{6}\]
Współczynniki \(\Large{\binom{6}{0}},\) \(\Large{\binom{6}{1}},\) \(\Large{\binom{6}{2}}, \cdots\) możemy wyliczyć ze wzoru \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!},\] gdzie \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot \left ( n-1 \right )\cdot n.\) 
Możemy również korzystać z trójkąta Pascala. (Patrz zadanie 2.3.2).
Podpowiedź
Licząc symbol Newtona warto rozpisać wyrażenie z licznika tak, aby skróciło się z wyrażeniem z mianownika.
Korzystamy z własności \(n!=(n-1)!\cdot n.\)
Przykłady
\(\Large{\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{\not 4! \cdot 5 \cdot 6}{1\cdot 2\cdot \not4!}}\normalsize{=15}\)
\(\Large{\frac{n!(n+2)!}{(n-1)!(n+3)!}=\frac{(n-1)!\cdot n\cdot (n+2)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!(n+3)}=\frac{n}{n+3}}.\)
Korzystamy z własności, wzoru Newtona, powyższej podpowiedzi oraz z definicji silni
\[\binom{6}{0}\sqrt{2}^{6-0}1^{0}+\binom{6}{1}\sqrt{2}^{6-1}1^{1}+\binom{6}{2}\sqrt{2}^{6-2}1^{2}+\binom{6}{3}\sqrt{2}^{6-3}1^{3}+\binom{6}{4}\sqrt{2}^{6-4}1^{4}+\binom{6}{5}\sqrt{2}^{6-5}1^{5}+\binom{6}{6}\sqrt{2}^{6-6}1^{6}=\]
\[=1\cdot \sqrt{2}^{6}+6\cdot \sqrt{2}^{5}+\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \sqrt{2}^{4}+\frac{6!}{3!\cdot 3!}\cdot \sqrt{2}^{3}+\frac{6!}{4!\cdot 2!}\cdot \sqrt{2}^{2}+6\cdot \sqrt{2}^{1}+1\cdot \sqrt{2}^{0}=\]
\[=8+24\sqrt{2}+15\cdot 4+20\cdot 2\sqrt{2}+15\cdot 2+6\sqrt{2}+1=70\sqrt{2}+99.\]

 Odpowiedź

\(\left ( 1+\sqrt{2} \right )^{6}=70\sqrt{2}+99\)

 Polecenie

Oblicz, korzystając z wzoru dwumianowego Newtona.

 Ćwiczenia

\( 1. \quad  \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k} \)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k}=3^{n}\)

 Rozwiązanie

\[\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}2^{k}=(1+2)^{n}=3^{n}\]
\( 2. \quad \left ( \sqrt{3}-1 \right )^{5}\)

 Odpowiedź

\(\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{5}= 44\sqrt{3}-76\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
\displaystyle{\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{5}= \sum\limits_{k=0}^{5}\binom{n}{k}\sqrt{3}^{n-k}(-1)^{k}=}\\
\displaystyle{=\binom{5}{0}\sqrt{3}^{5}(-1)^{0}+\binom{5}{1}\sqrt{3}^{4}(-1)^{1}+\binom{5}{2}\sqrt{3}^{3}(-1)^{2}+\binom{5}{3}\sqrt{3}^{2}(-1)^{3}+\binom{5}{4}\sqrt{3}^{1}(-1)^{4}+\binom{5}{5}\sqrt{3}^{0}(-1)^{5}=}\\
\displaystyle{=1\cdot \sqrt{3}^{5}\cdot 1+5\cdot \sqrt{3}^{4}\cdot (-1)+\frac{5!}{2!\cdot 3!}\sqrt{3}^{3}\cdot 1+ \frac{5!}{3!\cdot 2!}\sqrt{3}^{2}\cdot (-1)+5\cdot \sqrt{3}\cdot 1+1\cdot 1\cdot (-1)=}\\
\displaystyle{=9\sqrt{3}-45+10\cdot 3\sqrt{3}-10\cdot 3+5\sqrt{3}-1=9\sqrt{3}-45+30\sqrt{3}-30+5\sqrt{3}-1=44\sqrt{3}-76}
\end{array}\]
\(3. \quad \displaystyle\binom{5}{0}+\binom{5}{1}\cdot 2+\binom{5}{2}\cdot 4+ \binom{5}{3}\cdot 8+\binom{5}{4}\cdot 16+\binom{5}{5}\cdot 32\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\binom{5}{0}+\binom{5}{1}\cdot 2+\binom{5}{2}\cdot 4+ \binom{5}{3}\cdot 8+\binom{5}{4}\cdot 16+\binom{5}{5}\cdot 32=243\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
\displaystyle{\binom{5}{0}+\binom{5}{1}\cdot 2+\binom{5}{2}\cdot 4+ \binom{5}{3}\cdot 8+\binom{5}{4}\cdot 16+\binom{5}{5}\cdot 32 =}\\
\displaystyle{=\binom{5}{0} 1^{5-0}\cdot 2^{0}+\binom{5}{1} 1^{5-1}\cdot 2^{1}+\binom{5}{2}1^{5-2}\cdot 2^{2}+ \binom{5}{3}1^{5-3}\cdot 2^{3}+\binom{5}{4}1^{5-4}\cdot 2^{4}+\binom{5}{5}1^{5-5}\cdot 2^{5}=}\\
\displaystyle{=\sum_{k=0}^{5}1^{5-k}2^{k}=(1+2)^{5}=3^{5}=243}
\end{array}\]

W każdym pytaniu wybierz jedną prawidłową odpowiedź i sprawdź poprawność wybranych odpowiedzi klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Pytanie 1

Wskaż równanie prawdziwe.

Pytanie 2

Wyrażenie \(\displaystyle\binom{n+2}{n-1}\) jest równe:

Pytanie 3

Sumę \(1+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{7}+\displaystyle\frac{1}{10}\) można zapisać w postaci:

Pytanie 4

W rozwinięciu \(\left ( a^{\Large{\frac{3}{4}}} -2 a^{-2}\right )^{6}\) współczynnik stojący przy \(a^{-\Large{\frac{15}{4}}}\) jest równy:

Podsumowanie