Zadanie 2.4.2, 2.4.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.4 Wartość bezwzględna
  4. Zadanie 2.4.2, 2.4.3

 Polecenie

Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, zaznaczyć na osi liczbowej zbiór punktów spełniających podany warunek i zapisać rozwiązanie równania lub nierówności.

 Wskazówki

Definicja wartości bezwzględnej

Wartością bezwzględną z \(x\in \mathbb{R}\) nazywamy liczbę
\[|x|=\left\{\begin{matrix}
x,& \textrm{ dla } x\geq 0\\
-x,& \textrm{ dla } x\lt 0
\end{matrix}\right.\]

Własności wartości bezwzględnej

Dla  \(a> 0\) zachodzą następujące własności:

\[ \begin{array}{l}
(1) \quad |x|=a \quad \Leftrightarrow \quad x=a \quad\textrm{lub}\quad x=-a \\
(2) \quad |x|< a \quad \Leftrightarrow \quad -a< x< a \\
(3) \quad |x|\leq a \quad \Leftrightarrow \quad -a\leq x\leq a \\
(4) \quad |x|> a \quad \Leftrightarrow  \quad (x> a \quad\textrm{lub}\quad x< -a) \\
(5) \quad |x|\geq a \quad\Leftrightarrow \quad (x\geq a \quad \textrm{lub} \quad x\leq -a). \end{array}\]

Dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) zachodzą własności:
\[ \begin{array}{l}
(1^{o}) \quad |x|\geq 0\\
(2^{o}) \quad |x|=|-x|\\
(3^{o}) \quad |x|=\sqrt{x^{2}}\\
(4^{o}) \quad |x\cdot y|=|x|\cdot |y|\\
(5^{o}) \quad \Bigg| \displaystyle \frac{x}{y}\Bigg|= \displaystyle\frac{|x|}{|y|}, y\neq 0.\end{array} \]

 Ćwiczenia

\(1.\quad |x-4|< 2\)

 Rozwiązanie

Szkicujemy oś liczbową i zaznaczamy miejsce zerowe funkcji liniowej znajdującej się pod wartością bezwzględną, czyli \(x_{0}=4.\) Zaznaczamy przedział liczbowy tak, aby odległość od \(4\) na osi była mniejsza niż \(2.\) Zatem od \(4\) cofamy się oraz idziemy do przodu o \(2\) jednostki uzyskując przedział obustronnie otwarty (gdyż nierówność ostra) \((2;6).\)
Interpretacja graficzna wartosci bezwzględnej
Można również wyznaczyć ten przedział algebraicznie:
\[\begin{align}
|x-4|< 2 \ & \Leftrightarrow \  -2< x-4< 2 \\
 & \Leftrightarrow \   -2+4<x<2+4 \\
 & \Leftrightarrow \  2<x<6.
\end{align}\]
Zatem \(x\in (2;6).\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \( |x-4|< 2\) jest zbiór \((2;6).\)
\(2. \quad |2x-5|=7\)

 Rozwiązanie

Aby rozwiązać równanie \(|2x-5|=7\) korzystając z graficznej interpretacji wartości bezwzględnej należy przekształcić równanie do postaci \(|x-t|, t\in \mathbb{R}.\) Pomoże nam w tym własność wartości bezwzględnej  \( |x\cdot y|=|x|\cdot |y|\) .
\[|2x-5|=7 \ \Leftrightarrow \ |2(x- \displaystyle\frac{5}{2})|=7 \ \overset{(4^{o})}{\Leftrightarrow}\ |2|\cdot |x- \displaystyle \frac{5}{2}|=7 \ \Leftrightarrow \ 2|x- \displaystyle \frac{5}{2}|=7 \ \Leftrightarrow \ |x- \displaystyle \frac{5}{2}|= \displaystyle \frac{7}{2}.\]
Mając równanie w tej postaci wyznaczamy miejsce zerowe oraz zaznaczamy je na osi liczbowej. Szukamy punktów oddalonych od miejsca zerowego dokładnie o \(\displaystyle \frac{7}{2}.\)
Interpretacja graficzna równania z wartością bezwzględną 2.10.2
Możemy również rozwiązania równania wyznaczyć algebraicznie:
\[ \begin{array}{l}
|2x-5|=7\\
2x-5=7 \ \vee \ 2x-5=-7\\
2x=7+5 \ \vee \ 2x=-7+5\\
x=6 \ \vee \ x=-1.
\end{array}\]

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \( |2x-5|=7\) są liczby należące do zbioru \(\left \{ -1,6 \right \}.\)
\(3. \quad |2-x|\geq 4\)

 Rozwiązanie

 Krok 1/4

W pierwszym kroku rozwiązania musimy przekształcić nierówność tak, aby była postaci \(|x-t|\geq  k, t,k\in \mathbb{R}.\) Należy skorzystać z własności \( (4^{o}) .\)

 Krok 2/4

Przekształcając nierówność korzystając z własności  \( |x\cdot y|=|x|\cdot |y|\)  wartości bezwzględnej dostaniemy:
\[ \begin{array}{l} |2-x|\geq 4\\
|(-1)(x-2)|\geq 4\\
|-1|\cdot |x-2|\geq 4\\
1\cdot |x-2|\geq 4\\
|x-2|\geq 4.\end{array}\]

W następnym kroku należy wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liniowej \(f(x)=x-2\) oraz zaznaczyć je na osi liczbowej. Należy znaleźć zbiór punktów oddalonych od miejsca zerowego o \(4\) lub więcej jednostek i zapisać odpowiedź.

 Krok 3/4

Interpretacja geometryczna nierówności 2.10.3
Zatem \[ x\in \left(-\infty ;-2 \right \rangle \cup \left \langle6;\infty \right ) .\]

 Krok 4 - Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\left | 2-x \right |\geq 4\) jest zbiór \(\left(-\infty ;-2 \right \rangle \cup \left \langle6;\infty \right ). \)

 Polecenie

Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisać z użyciem \( |\cdot|\) zbiory punktów.

 Wskazówki

Własności wartości bezwzględnej

Dla  \(a> 0\) zachodzą następujące własności:
\[ \begin{array}{l}
(1) \quad |x|=a \quad \Leftrightarrow \quad x=a \quad\textrm{lub}\quad x=-a \\
(2) \quad |x|< a \quad \Leftrightarrow \quad -a< x< a \\
(3) \quad |x|\leq a \quad \Leftrightarrow \quad -a\leq x\leq a \\
(4) \quad |x|> a \quad \Leftrightarrow  \quad (x> a \quad\textrm{lub}\quad x< -a) \\
(5) \quad |x|\geq a \quad\Leftrightarrow \quad (x\geq a \quad \textrm{lub} \quad x\leq -a). \end{array}\]

Dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) zachodzą własności:
\[ \begin{array}{l}
(1^{o}) \quad |x|\geq 0\\
(2^{o}) \quad |x|=|-x|\\
(3^{o}) \quad |x|=\sqrt{x^{2}}\\
(4^{o}) \quad |x\cdot y|=|x|\cdot |y|\\
(5^{o}) \quad \Bigg| \displaystyle \frac{x}{y}\Bigg|= \displaystyle\frac{|x|}{|y|}, y\neq 0.\end{array} \]

 Ćwiczenia

\(1. \quad \left \{ 1,9 \right \}\)

 Rozwiązanie

Zaznaczamy punkty na osi liczbowej i szukamy liczby, która znajduje się dokładnie w połowie między zaznaczonymi punktami.
Interpretacja geometryczna równania z wartością bezwzględną
Punktem leżącym między liczbami \(1\) i \(9\) w tej samej odległości jest liczba \(5\) a odległość ta wynosi \(4\). . Zatem równanie opisujące zbiór punktów \(\left \{ 1,9 \right \} \) ma postać \[\left | x-5 \right |=4.\]
Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi można rozwiązać podane równanie algebraicznie.
\[\left | x-5 \right |=4\\
x-5=4 \vee x-5=-4\\
x=4+5 \vee x=-4+5\\
x=9 \vee x=1.\]
Rozwiązaniami równania \(\left | x-5 \right |=4\) są dokładnie dwa punkty równo oddalone od punktu \((5,0)\) czyli zbiór \(\left \{ 1,9 \right \} .\)

 Odpowiedź

\(\left | x-5 \right |=4\)
\(2. \quad x\in \left (  -\infty ;-3-\sqrt{2} \right \rangle \cup  \left \langle \sqrt{2}-1; \infty  \right )\)

 Rozwiązanie

Tak jak w przykładzie \(1\) zaznaczamy punkty skrajne z przedziałów na osi liczbowej i szukamy liczby, która znajduje się dokładnie w połowie między zaznaczonymi punktami.

Aby ułatwić sobie poszukiwanie "środkowej" liczby, można obliczyć  Liczba \(|a − b|\) jest równa odległości na osi liczb \(a\) i \(b\) .   między punktami \(-3-\sqrt{2}, \sqrt{2}-1\) i podzielić na pół. Zatem:
\[|-3-\sqrt{2} -(\sqrt{2}-1)|=|-3 -\sqrt{2}-\sqrt{2}+1|=|-2-2\sqrt{2}|=2+2\sqrt{2}.\]
Dzieląc na pół otrzymamy \((2+2\sqrt{2}):2=1+\sqrt{2}.\)
Aby algebraicznie wyznaczyć liczbę oddaloną tak samo od obu liczb \(-3-\sqrt{2}, \sqrt{2}-1\), wystarczy do mniejszej dodać lub od większej odjąć wyznaczoną połowę odległości między nimi.
\(-3-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=-3+1=-2.\) Mamy więc również liczbę \(-2\) jako środek odcinka.
Interpretacja geometryczna nierówności z wartością bezwzględną 2.11.2
Zapisujemy nierówność spełniającą podane warunki. Rozwiązaniem ma być zbiór punktów oddalonych od \(-2\) dokładnie \(1+\sqrt{2}\) lub więcej. Zatem \[|x+2|\geq 1+\sqrt{2}.\] 
Dla sprawdzenia można również algebraicznie rozwiązać podaną nierówność, korzystając z  \(|x|\geq a \quad\Leftrightarrow \quad (x\geq a \quad \textrm{lub} \quad x\leq -a)\)  własności wartości bezwzględnej.
\[\begin{array}{l} 
|x+2|\geq 1+\sqrt{2} \quad\quad \overset{(5)}{\Leftrightarrow} \\
x+2\geq 1+\sqrt{2} \quad \vee \quad x+2\leq -1-\sqrt{2}  \quad \quad  \Leftrightarrow \\
x\geq 1+\sqrt{2}-2  \quad \vee \quad x\leq -1-\sqrt{2}-2 \quad \quad  \Leftrightarrow\\
x\geq \sqrt{2}-1  \quad \vee \quad x\leq -3-\sqrt{2} .
\end{array}\]

 Odpowiedź

\( |x+2|\geq 1+\sqrt{2}\)
\(3. \quad -4\sqrt{3}\leq x\leq 0\)

 Rozwiązanie

Warto wyznaczyć środek podanego przedziału liczbowego oraz połowę jego długości (jak w przykładach \(1\) i \(2\) ).
Uwaga
Wybierz odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku musisz wybrać prawidłową odpowiedź.

 Krok 1

Liczbą, która jest położona w tej samej odległości od końców przedziału, jest liczba \(2\sqrt{3}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Liczbą, która jest położona w tej samej odległości od końców przedziału, jest liczba \(-2\sqrt{3}.\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

Liczba \(-2\sqrt{3}\) leży w odległości \(2\sqrt{3}\) na osi liczbowej od liczb \(-4\sqrt{3}\) i  \(0.\)

Odpowiedź prawidłowa

Liczba \(-2\sqrt{3}\) leży w odległości \(1+\sqrt{3}\) na osi liczbowej od liczb \(-4\sqrt{3}\) i \(0.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Mając wyznaczone dane wartości można już zapisać nierówność z wartością bezwzględną, której rozwiązanie spełniają tylko te argumenty, które były opisane przez nierówności \(-4\sqrt{3}\leq x\leq 0\):
\[|x+2\sqrt{3}|\leq 2\sqrt{3}.\]
Dla pewności można rozwiązać podaną nierówność algebraicznie i sprawdzić rozwiązanie.
\[ \begin{array}{l}|x+2\sqrt{3}|\leq 2\sqrt{3}\\
-2\sqrt{3}\leq x+2\sqrt{3}\leq 2\sqrt{3}\\
-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\leq x\leq 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\
-4\sqrt{3} \leq x \leq 0 .\end{array}\]

 Odpowiedź

\(|x+2\sqrt{3}|\leq 2\sqrt{3}\)

 Polecenie

Zapisz z użyciem/bez użycia \(|\cdot |\). Skorzystaj z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej.

 Ćwiczenia

\(1. \quad \left \{ 1-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3} \right \}\)

 Odpowiedź

\(\left | x-2 \right |=1+\sqrt{3}\)

 Rozwiązanie

\[\left | 1-\sqrt{3}-3-\sqrt{3}  \right |=\left | -2\sqrt{3}-2 \right |=2\sqrt{3}+2\]
\[\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=1+\sqrt{3}\]
\[1-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}=2\]
Zatem \[\left | x-2 \right |=1+\sqrt{3}.\]
Geometryczna interpretacja równania z wartością bezwzględną 2.10.11.spr.1
\(2. \quad \left | x-3 \right |\geq 6\)

 Odpowiedź

\(x\in \left ( -\infty ;-3  \right \rangle \cup \left \langle  9;\infty \right )\)

 Rozwiązanie

Geometryczna interpretacja nierówności z wartością bezwzględną 2.10.11.spr.2
Zatem \(x\in \left ( -\infty ;-3  \right \rangle \cup \left \langle  9;\infty \right ).\)
Można sprawdzić poprawność rysunku wykonując obliczenia algebraiczne.
\[\begin{array}{l} \left | x-3 \right |\geq 6 \quad\quad \overset{(5)}{\Leftrightarrow} \\
x-3\geq 6 \vee x-3\leq -6 \quad\quad\Leftrightarrow\\
x\geq 9 \vee  x\leq -3  \end{array} \]
\(3. \quad \displaystyle\frac{1}{2}\left | 2-x \right |=4\)

 Odpowiedź

\(x\in \left \{ -6,10 \right \}\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{2}\left | 2-x \right |=4  \quad /\cdot 2\quad\quad \Leftrightarrow \\
 \left | 2-x \right |=8 \quad\quad \Leftrightarrow \\
 \left |-1(x-2) \right |=8 \quad\quad \overset{(4^{o})}{\Leftrightarrow} \\
|-1| \left |x-2 \right |=8 \quad\quad \Leftrightarrow \\
1\cdot  \left |x-2 \right |=8 \quad\quad \Leftrightarrow \\
 \left |x-2 \right |=8
\end{array}\]
Wykonujemy rysunek i odczytujemy zbiór rozwiązań.
Geometryczna interpretacja równania z wartością bezwzględną 2.10.11.spr.3
\(4. \quad x\in \left ( -\infty ;2\sqrt{2} \right )\cup \left ( 2+4\sqrt{2};\infty  \right )\)

 Odpowiedź

\(\left | x-1-3\sqrt{2} \right |\geq 1+\sqrt{2}\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l} 
|2+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}|=2+2\sqrt{2}\\
\displaystyle \frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\\
2\sqrt{2}+(1+\sqrt{2})=1+3\sqrt{2}
\end{array}\]
Geometryczna interpretacja nierówności z wartością bezwzględną
Zatem \(\left | x-1-3\sqrt{2} \right |\geq 1+\sqrt{2}.\)