Zadanie 3.3.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.3 Funkcja wielomianowa, wymierna i potęgowa
  4. Zadanie 3.3.1

 Polecenie

Rozwiąż równania wielomianowe lub wymierne.

 Wskazówki

Definicja wielomianu
Niech \(n\in \mathbb{N}.\) Wielomianem stopnia \(n\) nazywamy funkcję \(W:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) postaci
\[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},\] gdzie \(a_{0},a_{1}, a_{2}\cdots a_{n}\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (nazywamy je współczynnikami wielomianu) oraz \(a_{n}\neq 0.\)

Uwaga
Funkcję \(W(x)=0\) nazywamy wielomianem zerowym. Przyjmuje się, że wielomian zerowy nie ma stopnia.
Definicja funkcji wymiernej
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci \(f(x)=\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)},\) gdzie \(M, N\) są wielomianami, przy czym \( N(x)\neq 0.\)
Dziedziną funkcji wymiernej \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}: N(x)\neq 0 \right \}.\)
Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita \(p\neq 0\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_{0}.\)

Uwaga
Wielomian o współczynnikach całkowitych może nie mieć pierwiastków całkowitych, np.:\(x^{2}+1.\)
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem stopnia \(n\) o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna \(\frac{p}{q},\) gdzie liczby \(p\) i \(q\) będą liczbami całkowitymi wsględnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{0},\) a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{n}\) tego wielomianu.

Uwaga
Jeżeli \(a_{n}=1\), to wszystkie pierwiastki wymierne tego wielomianu są całkowite.
Twierdze Bezout
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P\) taki, że \(W(x)=(x-x_{0})P(x)\).

Uwaga
Reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-x_{0})\) jest równa \(W(x_0).\)
Wzory skróconego mnożenia
\[\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\
\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\
a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\\
\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\
\left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\
a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\\
a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\]

 Równanie 1

\(2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0\)

 Rozwiązanie

Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy zapisać podany po lewej stronie równania wielomian w postaci iloczynowej.
Do tego służą różne metody, m.in. wzory skróconego mnożenia, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów, twierdzenie o pierwiastkach całkowitych (wymiernych) wielomianu oraz dzielenie wielomianów (również za pomocą schematu Hornera).

\[2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0\]
Ponieważ nie jest łatwo pogrupować wyrazy, zatem korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Wymierny pierwiastek wielomianu, jeżeli istnieje, to znajduje się wśród liczb postaci \(\displaystyle\frac{p}{q},\) gdzie \(p\) jest dzielnikiem liczby \(3,\) a \(q\) liczby \(2.\) Szukamy zatem w zbiorze \(\left \{ 1,-1,3,-3,\displaystyle\frac{3}{2}, -\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, -\displaystyle\frac{1}{2} \right \}.\)
\[\begin{array}{l}
W(x)=2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3\\
W(1)=2-3-9-1+3\neq 0\\
W(-1)=2+3-9+1+3=0.
\end{array}\]
Zatem liczba \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Aby zapisać go w postaci iloczynowej należy podzielić wielomian \(W\) przez dwumian \(x+1.\) Można to zrobić stosując dzielenie wielomianów pisemne lub schematem Hornera.
My pokażemy jak podzielić wielomian \(W\) przez dwumian \(x+1\) stosując schemat Hornera.

 Animacja - Schemat Hornera

Uwaga
Użyj przycisków aby przejść do kolejnego slajdu.
 
Korzystając z twierdzenia Bezout możemy teraz odczytać, że
\[W(x)=(x+1)\cdot Q(x)=(x+1)(\color{#F57C00}{2}x^{3}\color{#F57C00}{-5}x^{2}\color{#F57C00}{-4}x+\color{#F57C00}{3}).\]
Dla wielomianu \(Q(x)=2x^{3}-5x^{2}-4x+3\) szukamy pierwiastka znów wśród liczb \(\left \{ 1,-1,3,-3,\displaystyle\frac{3}{2}, -\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, -\displaystyle\frac{1}{2} \right \}.\)
\[\begin{array}{l}
Q(1)=2-5-4+3\neq0\\
Q(-1)=-2-5+4+3=0.
\end{array}\]
Zatem wielomian \(Q\) jest również podzielny przez dwumian \(x+1.\)
Ponownie wykonamy dzielenie wielomianów za pomocą schematu Hornera.
Tabela 3.3.1.2
Wyjściowe równanie możemy zapisać już w postaci:
\[\begin{array}{l} 
(x+1)^{2}(\color{#F57C00}{2}x^{2}\color{#F57C00}{-7}x+\color{#F57C00}{3})=0\\
x+1=0 \ \vee \ 2x^{2}-7x+3=0\\
x=-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta =(-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \sqrt{\Delta } =5\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x_{1}=\displaystyle\frac{7-5}{4}=\displaystyle\frac{2}{4}=\displaystyle\frac{1}{2},\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2}=\displaystyle\frac{7+5}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3.
\end{array}\]
Zatem rozwiązaniem równania wielomianowego \(2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0\) są liczby \(x=-1 \ \vee \  x=\displaystyle\frac{1}{2} \  \vee \   x=3.\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania wielomianowego \(2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0\) są liczby należące do zbioru \(\left \{ -1, \displaystyle\frac{1}{2}, 3 \right \}.\)

 Równanie 2

\(\displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Aby rozwiązać podane równanie wymierne warto przeanalizować wcześniej przykłady 2 i 3 w zadaniu 2.2.3.
1. Wyznaczamy dziedzinę równania wymiernego.
Musimy przyjąć odpowiednie założenia:
\[ \begin{array}{l}
x^{2}-1\neq 0 \ \quad \quad\quad \ \quad \wedge \quad x-1\neq 0 \ \wedge \quad x^{3}-1\neq 0\\
(x-1)(x+1)\neq 0 \quad \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad (x-1)(x^{2}+x+1)\neq 0\\
x\neq 1 \ \wedge \ x\neq -1 \quad \ \ \  \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad x\neq 1 \ \wedge \  x^{2}+x+1\neq 0 \\
x\neq 1 \ \wedge \ x\neq -1 \quad \ \ \ \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad x\neq 1 \  \wedge \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } x^{2}+x+1\neq 0 \\
\end{array}\]
Zatem \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\]
2. Szukamy najmniejszego wspólnego mianownika i rozwiązujemy równanie (rozwiązując równanie po sprowadzeniu do wspólnego mianownika możemy pomnożyć przez niego obustronnie, inaczej jest przy rozwiązywaniu nierówności).
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}\\
\displaystyle\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\displaystyle\frac{3}{(x-1)}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\
\displaystyle\frac{2(x^{2}+x+1)-3(x+1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)}=\displaystyle\frac{(1-3x^{2})(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)} \ \ \ \ /\cdot (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)\\
2(x^{2}+x+1)-3(x+1)(x^{2}+x+1)=(1-3x^{2})(x+1)\\
2x^{2}+2x+2-3(x^{3}+x^{2}+x+x^{2}+x+1)=x+1-3x^{3}-3x^{2}\\
2x^{2}+2x+2-3x^{3}-3x^{2}-3x-3x^{2}-3x-3=x+1-3x^{3}-3x^{2}\\
2x^{2}+2x+2\cancel{-3x^{3}}-6x^{2}-6x-3=x+1\cancel{-3x^{3}}-3x^{2}\\
-4x^{2}-4x-1-x-1+3x^{2}=0\\
-x^{2}-5x-2=0\\
x^{2}+5x+2=0\\
\Delta =25-4\cdot 1\cdot 2=25-8=17\\
\sqrt{\Delta }=\sqrt{17}\\
x_{1}=\displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2} \in D\\
x_{2}=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2} \in D.
\end{array}\]
Zatem rozwiązaniem równania są liczby \(x_{1}=\displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2}, x_{2}=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2} .\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \(\displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}\) jest zbiór \(x\in \left \{ \displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2},\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2}  \right \}.\)

 Równanie 3

\(\displaystyle\frac{2x-1}{x^{2}-3x+2}=\displaystyle\frac{x-2}{x^{2}-2x+1}-\displaystyle\frac{3-x}{x^{2}-4x+4}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku wyznacz odpowiednie założenia oraz dziedzinę równania. Wybierz prawidłową odpowiedź i sprawdź.

\[x^{2}-3x+2\neq 0 \\  \wedge \\  x^{2}-2x+1\neq 0\\ \wedge \\ x^{2}-4x+4\neq 0\]
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1,2 \right \}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[x^{2}-3x+2\neq 0 \\ \wedge \\  x^{2}-2x+1\neq 0 \\ \wedge \\ x^{2}-4x+4\neq 0\]
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1,-1,2, -2 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x^{2}-3x+2\geq  0 \\ \wedge  \\ x^{2}-2x+1\geq 0\\  \wedge \\ x^{2}-4x+4\geq  0\]
\[D=\left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;\infty  \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

W drugim kroku znajdź i wybierz najmniejszy wspólny mianownik.

\[(x^{2}-3x+2)(x^{2}-2x+1)(x^{2}-4x+4)\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[(x-1)^{2}(x-2)^{2}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[(x-1)(x-2)\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, pomnożeniu przez wspólny mianownik oraz dokonaniu przekształceń, równanie ma postać

\[18x^{2}-4x+9=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[4x^{2}+26x+9=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[4x^{2}-12x+9=0\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Rozwiązaniem równania \(\displaystyle\frac{2x-1}{x^{2}-3x+2}=\displaystyle\frac{x-2}{x^{2}-2x+1}-\displaystyle\frac{3-x}{x^{2}-4x+4}\) jest zbiór

\[\left \{ 0\right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\left \{ \displaystyle\frac{3}{2}\right \}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\varnothing \]

Odpowiedź nieprawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki z zadania 3.3.1.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Rozwiąż równania wielomianowe lub wymierne.

 Równanie 1

\(2x^{4}-7x^{3}+x^{2}+16x-12=0\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniami równania \( 2x^{4}-7x^{3}+x^{2}+16x-12=0\) są liczby należące do zbioru \( \left \{ -\displaystyle\frac{3}{2}, 1,2 \right \}.\)

 Rozwiązanie

Niech \[W(x)=2x^{4}-7x^{3}+x^{2}+16x-12.\]
Szukamy pierwiastków wielomianu \(W\) wśród liczb \( \left \{\pm \displaystyle\frac{1}{2}, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \right \}.\)
\(W(1)=2-7+1+16-12=0,\) zatem liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) oraz \(W(x)=(x-1)\cdot Q(x).\) Dzielimy wielomian \(W\) przez dwumian \((x-1)\) za pomocą schematu Hornera.
Tabela 3.3.1.spr.1
Zatem \(W(x)=(x-1)\cdot Q(x)=(x-1)(2x^{3}-5x^{2}-4x+12).\)
Szukamy pierwiastka wielomianu \(Q\) wśród liczb \(\left \{\pm \displaystyle\frac{1}{2}, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \right \}.\)
\[Q(1)=2-5-4+12 \neq0 \\
Q(-1)=-2-5+4+12 \neq 0 \\
Q(2)=16-20-8+12=0.\]
Dzielimy wielomian \(Q\) przez dwumian \((x-2)\) korzystając ponownie ze schematu Hornera.
Tabela 3.3.1.spr.2
Zatem \(
W(x)=(x-1)\cdot Q(x)=(x-1)(2x^{3}-5x^{2}-4x+12)=(x-1)(x-2)(2x^{2}-x-6).\)
Równanie ma więc postać
\[(x-1)(x-2)(2x^{2}-x-6)=0.\]
Aby wyznaczyć wszystkie pierwiastki równania wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe
\[2x^{2}-x-6=0\\
\Delta =1+48=49\\
\sqrt{\Delta }=7\\
x_{1}=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}\\
x_{2}=\frac{1+7}{4}=2.
\]
Ponieważ dziedziną wielomianów jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, zatem wszystkie wyznaczone liczby są rozwiązaniami równania.
\[x\in \left \{ -\frac{3}{2}, 1,2 \right \}.\]

 Równanie 2

\(\displaystyle\frac{5}{2x-5}=\displaystyle\frac{5}{2x+5}-\displaystyle\frac{3}{2x^{2}+3x-5}\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \(\displaystyle\frac{5}{2x-5}=\displaystyle\frac{5}{2x+5}-\displaystyle\frac{3}{2x^{2}+3x-5}\) jest \(x = \displaystyle\frac{65}{56}.\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę równania należy przyjąć odpowiednie założenia.
\[ \begin{array}{l}
2x-5\neq 0 \quad \wedge \quad 2x+5\neq  0 \quad \wedge \quad 2x^{2}+3x-5\neq 0\\
2x\neq 5  \quad \ \ \quad \wedge \quad 2x\neq  -5 \quad \quad  \wedge \quad \Delta =9+40=49, \sqrt{\Delta }=7\\
x\neq \displaystyle\frac{5}{2} \  \quad \ \ \quad \wedge \quad x\neq -\displaystyle\frac{5}{2} \ \quad \quad  \wedge \quad x\neq \displaystyle\frac{-3-7}{4} \ \wedge  \ x\neq \displaystyle\frac{-3+7}{4}\\
x\neq \displaystyle\frac{5}{2} \  \quad \ \ \quad \wedge \quad x\neq -\displaystyle\frac{5}{2} \ \quad \quad  \wedge \quad x\neq -\displaystyle\frac{5}{2} \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ x\neq 1.\\
\end{array}\]
Zatem \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 1 \right \}.\]
Ponieważ \(2x^{2}+3x-5=(2x+5)(x-1)\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{5}{2x-5}=\displaystyle\frac{5}{(2x+5)}-\displaystyle\frac{3}{2x^{2}+3x-5}\\
\displaystyle\frac{5(2x+5)(x-1)}{(2x-5)(2x+5)(x-1)}=\displaystyle\frac{5(2x-5)(x-1)}{(2x-5)(2x+5)(x-1)}-\displaystyle\frac{3(2x-5)}{(2x+5)(2x-5)(x-1)}\\
5(2x+5)(x-1)=5(2x-5)(x-1)-3(2x-5)\\
10x^{2}+15x-25=10x^{2}-35x+25-6x+15\\
15x-25+35x-25+6x-15=0\\
56x-65=0\\
x=\displaystyle\frac{65}{56}\in D
\end{array}\]

 Równanie 3

\(\displaystyle\frac{x-5}{x^{3}-8}-\displaystyle\frac{1}{x-2}=1\)

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania \(\displaystyle\frac{x-5}{x^{3}-8}-\displaystyle\frac{1}{x-2}=1\) jest liczba \(x=-1.\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę danego równania musimy przyjąć odpowiednie założenia:
\[\begin{array}{l}
x^{3}-8\neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \  \wedge \quad x-2\neq 0\\
(x-2)(x^{2}+2x+4)\neq 0 \quad \wedge \quad x\neq 2\\
x\neq 2 \wedge x^{2}+2x+4 \neq 0 \quad \ \wedge \quad  x\neq 2\\
\quad \quad \quad \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall }x^{2}+2x+4> 0
\end{array}\]
Zatem
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}.\]
Sprowadzamy równanie do najmniejszego wspólnego mianownika i mnożymy przez niego obustronnie, aby się go pozbyć.
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x-5}{x^{3}-8}-\displaystyle\frac{1}{x-2}=1\\
\displaystyle\frac{x-5}{x^{3}-8}-\displaystyle\frac{1(x^{2}+2x+4)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}=\displaystyle\frac{x^{3}-8}{x^{3}-8}\\
\displaystyle\frac{x-5}{x^{3}-8}-\displaystyle\frac{x^{2}+2x+4}{x^{3}-8}=\displaystyle\frac{x^{3}-8}{x^{3}-8}\\
x-5-(x^{2}+2x+4)=x^{3}-8\\
x-5-x^{2}-2x-4=x^{3}-8\\
x^{3}+x^{2}+x+1=0\\
\end{array}\]
Aby rozwiązać dane równanie wielomianowe stosujemy metodę grupowania wyrazów.
\[\begin{array}{l}
x^{2}(x+1)+(x+1)=0\\
(x+1)(x^{2}+1)=0\\
\quad\quad\quad \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall }x^{2}+1> 0\\
x+1=0\\
x=-1 \in D
\end{array}\]