Zadanie 3.4.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.4 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
  4. Zadanie 3.4.1

 Polecenie

Oblicz wartości wyrażeń.

 Wskazówki

Definicja logarytmu
Logarytmem przy podstawie \(a\) z liczby \(b\) nazywamy liczbę \(c\) taką, że \[\large{\log_{a}b=c \ \ \Leftrightarrow \ \ a^{c}=b, \ \textrm{ gdzie} \  a> 0 \ \wedge \  a\neq 1, \  b> 0.}\] Liczby \(a,\  b,\  c\) będziemy nazywać odpowiednio podstawą logarytmu, liczbą logarytmowaną i wynikiem logarytmowania.
W szczególności:\(\\\)
  • \(\large{\log_{a}1=0,}\)
  • \(\large{\log_{a}a=1,}\)
  • \(\large{\ln x= \log_{e}x,\ \  e - \textrm{liczba Eulera}, \ e\approx 2,72,}\)
  • \(\large{\log x=\log_{10}x.}\)
Np.
  • \(\log_{2}8=3,\) bo \(2^{3}=8.\)
  • \(\log _{\frac{1}{2}}4=-2,\) bo \(\Big (\displaystyle \frac{1}{2}\Big )^{-2}=2^{2}=4.\)
Własności logarytmów
Dla \( a, b,c, x, y > 0, \ a,b,c \neq 1,\) zachodzą następujące własności:

  1. \(\large{\textrm{log}_{a}x + \textrm{log}_{a}y = \textrm{log}_{a}xy}\ -\)  logarytm iloczynu,
  2. \(\large{\textrm{log}_{a}x - \textrm{log}_{a}y = \textrm{log}_{a}\displaystyle\frac{x}{y} }\ -\) logarytm ilorazu,
  3. \(\large{\textrm{log}_{a}x^{m}=m\cdot \textrm{log}_{a}x,\ \  m\in \mathbb{R}}\ -\) logarytm potęgi,
  4. \(\large{\textrm{log}_{a}b = \displaystyle\frac{\textrm{log}_{c}b}{\textrm{log}_{c}a}}\ -\) zmiana podstawy logarytmu,
  5. \(\large{\textrm{log}_{a}b = \displaystyle\frac{1}{\textrm{log}_{b}a},}\)
  6. \(\large{ a^{\displaystyle\textrm{log}_{a}b}=b.}\)

Podpowiedź

Aby obliczyć wartości wyrażeń należy, korzystając z definicji i własności logarytmów, doprowadzić liczbę logarytmowaną i podstawę logarytmu do potęg o tych samych podstawach. Wówczas łatwiej zauważyć do jakiej potęgi należy podnieść podstawę logarytmu aby na wynik otrzymać liczbę logarytmowaną.

\( \displaystyle \large {1. \quad \textrm{log}_{\frac{1}{5}}\ \frac{\sqrt{5}}{5\sqrt[3]{125}}=}\)  \(\displaystyle \large {\textrm{log}_{5^{-1}}\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{2}}}{5\cdot (5^{3})^{\frac{1}{3}}}= \textrm{log}_{5^{-1}}5^{-\frac{3}{2}}\ \overset{(def)}{=}\displaystyle\frac{3}{2}}\) 
\( \displaystyle \large {2. \quad \textrm{ln}\ e\sqrt[3]{e}=}\)  \(\displaystyle \large {\textrm{ln}\ e^{1}e^{\frac{1}{3}}=\textrm{ln}\ e^{1}e^{\frac{1}{3}}=\textrm{ln}\ e^{\frac{4}{3}}\ \overset{(def)}{=}\frac{4}{3}}\) 
\( \displaystyle \large{3. \quad  \textrm{log}_{5}3-\textrm{log}_{5}75=}\)  \(\displaystyle \large{\overset{(2')}{=}\textrm{log}_{5}\frac{3}{75}=\textrm{log}_{5}\frac{1}{25}=\textrm{log}_{5}5^{-2}\ \overset{(def)}{=}-2}\) 
\( \displaystyle \large{4. \quad \Big(\frac{1}{2}\Big )^{\textrm{log}_{2}\frac{1}{16}}=}\)  \(\displaystyle \large{(2^{-1})^{\textrm{log}_{2}\frac{1}{16}}=2^{-\textrm{log}_{2}\frac{1}{16}}= 2^{\textrm{log}_{2}\big(\frac{1}{16}\big)^{-1}}=2^{\textrm{log}_{2}16}\ \overset{(6')}{=}16}\) 

 Polecenie

Oblicz wartości wyrażeń.

 Ćwiczenia

\( \displaystyle \large {1. \quad \textrm{log}\ 0,001=}\)  \(\displaystyle \large{\textrm{log}\ 10^{-3}}\) \(\displaystyle \large{= -3}\) \(\\ \\  \)
\( \displaystyle \large {2. \quad \sqrt{e}^{\textrm{ln}16}=}\)  \(\displaystyle \large{e^{\frac{1}{2}\ \textrm{ln}16}\ \overset{(3')}{=}\ } \displaystyle \large{e^{\textrm{ln}16^{\frac{1}{2}}}=\ } \displaystyle \large{e^{\textrm{ln}4}\ \overset{(6')}{=}}\) \(\displaystyle \large{= 4}\)  \(\\ \\  \)
\( \displaystyle \large{3. \quad  \frac{1}{2}\textrm{log}_{3}30-\textrm{log}_{3}\sqrt{10}=}\)  \(\displaystyle \large{\textrm{log}_{3}\sqrt{30}-\textrm{log}_{3}\sqrt{10}\overset{2'}{=}} \displaystyle \large{\textrm{log}_{3}\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{10}}= \textrm{log}_{3}\sqrt{3}}\)  \(\displaystyle \large{=\frac{1}{2}}\) \( \\ \\ \)
\( \displaystyle \large{4. \quad \textrm{log}_{2}9\cdot \textrm{log}_{3}2=}\)  \(\displaystyle \large{\ \frac{\textrm{log}_{3}9}{\cancel{\textrm{log}_{3}2}} \cdot \cancel{\textrm{log}_{3}2}=\textrm{log}_{3}3^{2}}\)  \(\displaystyle \large{=2}\) \( \\ \\ \)

Wybierz jedną z czterech podanych odpowiedzi. Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Która z poniższych równości jest prawdziwa?

Zadanie 2

Wiedząc, że \(a=\log_{2}5\) oraz \(b=\log_{2}3\) wartość \(\log_{2}45\) wynosi

Zadanie 3

Rozwiązaniem równania \(\log_{12}16x=2\) jest liczba

\(x=\)

Podsumowanie