Zadanie 4.2.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.2 Granica właściwa ciągu
  4. Zadanie 4.2.3

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o granicy podciągu oraz bazując na definicji liczby \(e\) obliczyć granice ciągów.

 Wskazówki

Określenie liczby \(e\)

Twierdzenie
Ciąg \(e_{n}= \left(1+\displaystyle\frac{1}{n} \right)^n\)jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
DEFINICJE
  • Granicę tego ciągu oznaczamy przez \(e:\)
    \[e  \stackrel{def}=\lim_{n\to\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{n} \right)^n.\]
  • Liczba \(e\) jest równa w przybliżeniu  \[2,82523536028747135266249775771828182845904523536028747135266249775724709369995 \cdots .\]
  • Logarytm przy podstawie \(e\) nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez \[\ln; \ \ \ \ln x \stackrel{def}=\log_{e}x.\]
  • Funkcję wykładniczą przy podstawie \(e\) nazywamy eksponens i oznaczamy przez \[\exp;\ \ \ \exp x \stackrel{def}= e^{x}.\]
Twierdzenie o ciągach z granicą \(e.\)
Jeżeli ciąg \((a_{n})\) o wyrazach dodatnich jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(\infty\), to
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( 1+\frac{1}{a_{n}}\Big)^{a_{n}}=e.\]
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także wtedy, gdy ciąg \((a_{n})\) o wyrazach ujemnych jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty.\)
Prawdziwe są również twierdzenia:

\(1. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} \)

\(2. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^n = e^a, a \in R \)

Definicja podciągu

Niech \((a_{n})\) będzie dowolnym ciągiem, a \((k_{n})\) niech będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu \((a_{n})\) nazywamy ciąg \((b_{n})\) określony wzorem \[ b_{n} \stackrel{def}=a_{k_{n}},\ \textrm{ gdzie } \ n\in \mathbb{N}.\]
Obrazowo
Podciągiem nazywamy ciąg pozostały przez wykreślenie pewnej liczby (skończonej lub nie) wyrazów ciągu wyjściowego.
Np.
1. Ciąg liczb podzielnych przez 3 jest podciągiem liczb naturalnych:
\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
(b_{n})=\ ( &3, &6, &9, &12, &15, &\cdots),\\
(a_{n})=\ ( \cancel{1},\ \cancel{2}, &\color{#F57C00}{3},\ \cancel{4},\ \cancel{5}, &\color{#F57C00}{6},\ \cancel{7},\ \cancel{8}, &\color{#F57C00}{9},\ \cancel{10},\ \cancel{11}, &\color{#F57C00}{12}, \ \cancel{13},\ \cancel{14}, &\color{#F57C00}{15},\ \cancel{16},\ \cancel{17}\ &\cdots).\
\end{array}
\end{matrix}\]
2. Ciąg \(c_{n}=\Big(1+\displaystyle\frac{1}{3n-11}\Big)^{3n-11}\) jest podciągiem ciągu \(a_{n}=\Big(1+\displaystyle\frac{1}{n}\Big)^{n}.\)

3. Ciąg \(e_{n}=(1,1,1,1,1,1 \cdots)\) jest podciągiem ciągu \(a_{n}=(-1,\color{#F57C00}{1},-1,\color{#F57C00}{1},-1,\color{#F57C00}{1},-1,\color{#F57C00}{1},\cdots).\)

Twierdzenie o granicy podciągu

Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.
Przykład
Ciąg \(c_{n}=\sqrt[3n^{2}]{16}\) jest podciągiem ciągu \(a_{n}=\sqrt[n]{16}.\) Granica ciągu \(a_{n}\) wynosi: (możemy skorzystać z  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1, \textrm{ dla } a>0 \) )
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{16} = \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }16^{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}=1.\]
Z twierdzenia o granicy podciągu wynika, że
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[3n^{2}]{16}=1.\]

 Ciąg 1

\(a_{n}=\Big( \displaystyle\frac{5n+4}{5n+3}  \Big)^{11n+2}\)

 Rozwiązanie

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( \displaystyle\frac{5n+4}{5n+3}  \Big)^{11n+2}=\)
Na początku zapisujemy podstawę potęgi w postaci \(1+\displaystyle\frac{1}{a_{n}}.\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big(\displaystyle\frac{ \color{#388E3C}{5n+3}+1}{5n+3}  \Big)^{11n+2}=\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( \displaystyle\frac{5n+3}{5n+3} + \displaystyle\frac{1}{5n+3}  \Big)^{11n+2}=\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( 1+ \displaystyle\frac{1}{5n+3}  \Big)^{11n+2}=\)
Rozpisujemy wyrażenie w liczniku w taki sposób, by w pojawiła się suma lub różnica wyrażenia występującego w mianowniku i dowolnego drugiego wyrażenia. Dzielimy licznik przez mianownik, dzięki czemu pojawia się suma \(1+\displaystyle\frac{1}{a_{n}}.\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [\color{#388E3C}{\Big( 1+ \displaystyle\frac{1}{5n+3}  \Big)^{5n+3}}\Bigg ]^{\Large\frac{11n+2}{5n+3}}=\)
Sztucznie wpisujemy wykładnik potęgi \(5n+3\) tak, aby otrzymać te same wyrażenia w mianowniku ułamka z nawiasu oraz w wykładniku. "Dopisujemy" wykładnik potęgi\(\displaystyle\frac{11n+2}{5n+3},\) by po pomnożeniu skróciły się wyrażenia \(5n+3\) i dostaniemy wyjściowy wykładnik \(11n+2.\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \color{#388E3C}{e}^{{\Large\frac{11n+2}{5n+3}}}=\)
\(= e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }} \Large\frac{11n+2}{5n+3}}=\)
Korzystamy z  Jeżeli ciąg \((a_{n})\) o wyrazach dodatnich jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(\infty\), to \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( 1+\frac{1}{a_{n}}\Big)^{a_{n}}=e.\) .
\(= e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\Large\frac{11+\frac{2}{n}}{5+\frac{3}{n}}}=\)
\(= e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\Large\frac{11+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{5+\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}}=\)
Korzystamy z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów  \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\)  i  \(\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty}b_{n}},\) jeśli \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq 0\) .
Wyznaczamy granicę ciągu. Wyrażenia \(\frac{2}{n}\) oraz \(\frac{3}{n}\) dążą do \(0\) przy \(n\rightarrow \infty.\)
\(=e^{\Large\frac{11}{5}}.\)
Granicą ciągu \((a_{n})\) jest liczba \(e^{\Large\frac{11}{5}}.\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( \displaystyle\frac{5n+4}{5n+3}  \Big)^{11n+2}=e^{\frac{11}{5}}\)

 Ciąg 2

\(b_{n}= {\displaystyle \left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{3n}}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ \({\displaystyle \left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{3n}=\left ( 1+\frac{1}{-n^{2}} \right )^{3n}},\) zatem przyjmujemy, że we wzorze \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( 1+\frac{1}{a_{n}}\Big)^{a_{n}}=e,\) \(a_{n}=-n^{2}.\)
Liczymy granicę przekształcając wyrażenie oraz korzystamy z  \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Big( 1+\frac{1}{a_{n}}\Big)^{a_{n}}=e\) .
\[
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{3n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{-n^{2}} \right )^{3n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [ \color{#F57C00}{\left ( 1+\frac{1}{-n^{2}} \right )^{-n^{2}}}\Bigg ]^{-{\Large\frac{3}{n}}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\color{#F57C00}{e}^{-{\Large\frac{3}{n}}}=
e^{-{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{3}{n}}}=e^{0}=1
\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )^{3n}=1\)

 Ciąg 3

\(c_{n}= {\displaystyle \left (\frac{1+2\ln n^{2}}{2\ln n^{2}} \right )^{\ln n^{6}}}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z poznanych twierdzeń oraz z  \(\log_{a}b^{m}=m\cdot \log_{a}b, \ m \in \mathbb{R}\) .
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left (\frac{1+2\ln n^{2}}{2\ln n^{2}} \right )^{\ln n^{6}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left (1+\frac{1}{2\ln n^{2}} \right )^{\ln n^{6}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left (1+\frac{1}{4\ln n} \right )^{6\ln n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \Bigg [ \left (1+\frac{1}{\cancelto{\infty}{4\ln n}} \right )^{\cancelto{\infty}{4\ln n}}\Bigg ]^{{\Large\frac{3}{2}}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \Bigg [\color{#F57C00}{\left (1+\frac{1}{4\ln n} \right )^{4\ln n}}\Bigg ]^{{\Large\frac{3}{2}}}=
\color{#F57C00}{e}^{{\Large\frac{3}{2}}}\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \left (\frac{1+2\ln n^{2}}{2\ln n^{2}} \right )^{\ln n^{6}}=e^{{\Large\frac{3}{2}}}\)

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o granicy podciągu oraz bazując na definicji liczby \(e\) obliczyć granice ciągów.

 Ciąg 1

\(a_{n}=\left ( {\Large\frac{n+6}{n+7} }\right )^{2n-1}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{n+6}{n+7} \right )^{2n-1}=\frac{1}{e^{2}}}\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{n+6}{n+7} \right )^{2n-1}}=
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{n+7-1}{n+7} \right )^{2n-1}}=
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{-1}{n+7} \right )^{2n-1}}=\\
={\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [\color{#F57C00}{\left ( 1+\frac{1}{-(n+7)} \right )^{-(n+7)}}}\Bigg ]^{{\Large\frac{2n-1}{-(n-7)}}}=
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\color{#F57C00}{e}^{{\Large\frac{2n-1}{-(n-7)}}}=\\
=e^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{2n-1}{-(n-7)}}}=
e^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{2-\frac{1}{n}}{-1+\frac{7}{n}}}}=
e^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{2-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{-1+\cancelto{0}{\frac{7}{n}}}}}=
e^{-2}={\Large\frac{1}{e^{2}}}.
\end{array}\]

 Ciąg 2

\(b_{n}=\left ( {\Large\frac{n-4}{2n+1} }\right )^{n}\left ( {\Large\frac{2n+2}{n-3} }\right )^{n}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [\left ( \frac{n-4}{2n+1} \right )^{n}\left ( \frac{2n+2}{n-3} \right )^{n}\Bigg ]=
e^{-{\Large\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [\left ( \frac{n-4}{2n+1} \right )^{n}\left ( \frac{2n+2}{n-3} \right )^{n}\Bigg ]=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg [\frac{\left (n-4  \right )\left ( 2n+2 \right )}{\left (2n+1  \right )\left ( n-3 \right )}\Bigg ]^{n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg (\frac{2n^{2}+2n-8n-8}{2n^{2}-6n+n-3}\Bigg )^{n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg (\frac{2n^{2}-6n-8}{2n^{2}-5n-3}\Bigg )^{n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg (\frac{2n^{2}-5n-3-n-5}{2n^{2}-5n-3}\Bigg )^{n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg (1+\frac{-n-5}{2n^{2}-5n-3}\Bigg )^{n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg (1+\frac{1}{{\Large\frac{2n^{2}-5n-3}{-n-5}}}\Bigg )^{n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg[ \color{#F57C00}{\Bigg (1+\frac{1}{{\Large\frac{2n^{2}-5n-3}{-n-5}}}\Bigg )^{{\Large\frac{2n^{2}-5n-3}{-n-5}}}}\Bigg ]^{{\Large\frac{n(-n-5)}{2n^{2}-5n-3}}}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\color{#F57C00}{e}^{{\Large\frac{n(-n-5)}{2n^{2}-5n-3}}}=
e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{-n^{2}-5n}{2n^{2}-5n-3}}}=\\
=e^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{-1-\frac{5}{n}}{2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^{2}}}}}=
e^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{-1-\cancelto{0}{\frac{5}{n}}}{2-\cancelto{0}{\frac{5}{n}}-\cancelto{0}{\frac{3}{n^{2}}}}}}=
e^{-{\Large\frac{1}{2}}}={\Large\frac{1}{\sqrt{e}}}.
\end{array}\]

 Ciąg 3

\(c_{n}=\left ( {\Large\frac{7n}{7n-1} }\right )^{1-n}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\left ( {\Large\frac{7n}{7n-1} }\right )^{1-n}=e ^{-\Large\frac{1}{7}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\left ( {\Large\frac{7n}{7n-1} }\right )^{1-n}=
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\left ( {\Large\frac{7n-1+1}{7n-1} }\right )^{1-n}=\\
={\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\left ( 1+{\Large\frac{1}{7n-1} }\right )^{1-n}=
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\Bigg [\color{#F57C00}{\left ( 1+{\Large\frac{1}{7n-1} }\right )^{7n-1}}\Bigg ]^{{\Large\frac{1-n}{7n-1}}}=\\
={\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\color{#F57C00}{e}^{{\Large\frac{1-n}{7n-1}}}=
e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{1-n}{7n-1}}}=\\
=e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{\frac{1}{n}-1}{7-\frac{1}{n}}}}=
e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}-1}{7-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}}}=
e ^{-\Large\frac{1}{7}}.
\end{array}\]