Zadanie 5.1.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.1 Granica właściwa i niewłaściwa funkcji
  4. Zadanie 5.1.1

 Polecenie

Uzasadnij równości, korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji.

 Wskazówki

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Niech \(f\) będzie określona w  Sąsiedztwem o promieniu \(r>0\) punktu \(x_{0}\in \mathbb{R}\) nazywamy zbiór \(S(x_{0},r)\stackrel{def}=(x_{0}-r,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+r)\) .
Funkcja \(f\) ma granicę właściwą w punkcie \(x_{0}\) równą \(g,\) jeżeli dla każdego ciągu \(x_{n}\) dążącego do \(x_{0}\) (\(x_{n}\neq x_{0}\)) ciąg \(f(x_{n})\) jest zbieżny, przy \(n\rightarrow \infty \) do \(g.\)
Symbolicznie
\[\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=g \in \mathbb{R}\ \Leftrightarrow  \ \underset{x_{n}\rightarrow x_{0}, x_{n}\neq x_{0}}{\huge \forall } \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_{n})=g.\]
Uwaga!
Wartość funkcji w punkcie \(x_{0}\) nie ma wpływu na istnienie granicy funkcji w punkcie \(x_{0}.\)

Definicja granicy właściwej funkcji w \(\infty\)

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na  Sąsiedztwem \(\infty\) nazywamy zbiór \(S(\infty)\stackrel{def}=(a;\infty),\) gdzie \(a\in \mathbb{R}\) . Liczba \(g\) jest granicą właściwą funkcji \(f\) w \(\infty,\) jeżeli dla każdego ciągu \(x_{n}\) dążącego do \(\infty\) ciąg \(f(x_{n})\) również dąży do \(g,\) przy \(n\rightarrow \infty .\)
Symbolicznie zapisujemy \[\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=g \ \ \Leftrightarrow \ \ \underset{x_{n}\rightarrow \infty }{\huge \forall } f(x_{n})\stackrel{n\rightarrow \infty }\rightarrow g.\]
Uwaga!
Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w \(-\infty\) jest analogiczna.

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej w  Sąsiedztwem o promieniu \(r>0\) punktu \(x_{0}\in \mathbb{R}\) nazywamy zbiór \(S(x_{0},r)\stackrel{def}=(x_{0}-r,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+r)\) , gdzie \(x_{0}\in \mathbb{R}.\) Funkcja \(f\) ma granicę niewłaściwą \(\infty\) w punkcie \(x_{0},\) jeżeli dla każdego ciągu \(x_{n}\) dążącego do \(x_{0}\) (\(x_{n}\neq x_{0}\)) ciąg \(f(x_{n})\) dąży do \(\infty,\) przy \(n\rightarrow \infty .\)
Symbolicznie zapisujemy \[\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty \ \Leftrightarrow  \ \underset{x_{n}\rightarrow x_{0}, x_{n}\neq x_{0}}{\huge \forall } \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_{n})=\infty .\]
Uwaga!
Wartość funkcji w punkcie \(x_{0}\) (o ile istnieje) nie ma wpływu na istnienie granicy funkcji w punkcie \(x_{0}.\)
Definicja Heinego granicy \(-\infty\) funkcji w punkcie jest analogiczna.

Definicja granicy niewłaściwej funkcji w \(\infty\)

Niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na  Sąsiedztwem \(\infty\) nazywamy zbiór \(S(\infty)\stackrel{def}=(a;\infty),\) gdzie \(a\in \mathbb{R}\) . Funkcja \(f\) ma w \(\infty\) granicę niewłaściwą \(\infty,\) jeżeli dla każdego ciągu \(x_{n}\) dążącego do \(\infty\) ciąg \(f(x_{n})\) również dąży do \(\infty,\) przy \(n\rightarrow \infty .\)
Symbolicznie zapisujemy
\[\lim_{x\to \infty }f(x)=\infty \ \ \Leftrightarrow \ \ \underset{x_{n}\to \infty, (x_{n})\subset S(\infty) }{\huge \forall } f(x_{n})\stackrel{n\rightarrow \infty }\rightarrow \infty.\]
Uwaga!
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w \(-\infty\) jest analogiczna.

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6x^{2}-7}{2x^{2}+5} =3\)

 Rozwiązanie

Niech \(f(x)=\displaystyle\frac{6x^{2}-7}{2x^{2}+5}.\)
Korzystamy z definicji granicy właściwej funkcji w \(\infty.\) Weźmy dowolny ciąg \(x_{n}\stackrel{n\rightarrow \infty }\longrightarrow \infty ,\) wówczas
\[f(x_{n})={\displaystyle\frac{6x_{n}^{2}-7}{2x_{n}^{2}+5}\stackrel{[\frac{\infty }{\infty }]}=\frac{6-\frac{7}{x_{n}^{2}}}{2+\frac{5}{x_{n}^{2}}}}=\frac{6-\cancelto{0}{\frac{7}{x_{n}^{2}}}}{2+\cancelto{0}{\frac{5}{x_{n}^{2}}}} \stackrel{n\rightarrow \infty } \longrightarrow \frac{6}{2}=3.\]
Granica funkcji \(f\) istnieje oraz
\[\lim_{x\rightarrow \infty }f(x) =3.\]

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{x\to 4 }\frac{x^3-64}{x-4}=48\)

 Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{x^3-64}{x-4}\) jest zbiór \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 4 \right \}.\) Korzystamy z definicji granicy właściwej funkcji w punkcie.
Niech \(x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow 4,\) wówczas
\[f(x_{n})=\frac{x_{n}^3-64}{x_{n}-4}=\left [ \frac{0}{0} \right ]=\frac{\cancel{(x_{n}-4)}(x_{n}^{2}+4x_{n}+16)}{\cancel{x_{n}-4}} = x_{n}^{2}+4x_{n}+16 \stackrel{x_{n}\to 4 } \longrightarrow 4^{2}+4\cdot 4+16=48.\]
Zatem
\[\lim_{x\to 4 }\frac{x^3-64}{x-4}=48.\]

 Równość 3

\({\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-1}{(x-2)^{2}}=+\infty }\)

 Rozwiazanie

 Krok 1

Aby udowodnić równość \({\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-1}{(x-2)^{2}}=+\infty }\), należy skorzystać z definicji

granicy właściwej funkcji w punkcie

Odpowiedź nieprawidłowa

granicy właściwej funkcji w \(\infty\)

Odpowiedź nieprawidłowa

granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

Odpowiedź prawidłowa

granicy niewłaściwej funkcji w \(\infty\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Korzystając z definicji granicy niewłaściwej funkcji w punkcie, musimy założyć, że

\[x_{n}\stackrel{n\to 2 }\longrightarrow 2\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow \infty\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow 2\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

Przy założeniu, że \(x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow 2,\) sprawdzamy do czego dąży ciąg \( f(x_{n}).\) Wybierz właściwą odpowiedź

\[f(x_{n})=\frac{3x_{n}^2-1}{(x_{n}-2)^{2}}=\\
=\frac{\cancelto{11}{3x_{n}^2-1}}{\cancelto{0^{+}}{(x_{n}-2)^{2}}} \stackrel{n\to \infty }\longrightarrow 0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(x_{n})=\frac{3x_{n}^2-1}{(x_{n}-2)^{2}}=\\
=\frac{\cancelto{11}{3x_{n}^2-1}}{\cancelto{0^{-}}{(x_{n}-2)^{2}}} \stackrel{n\to \infty }\longrightarrow -\infty \]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(x_{n})=\frac{3x_{n}^2-1}{(x_{n}-2)^{2}}=\\
=\frac{\cancelto{11}{3x_{n}^2-1}}{\cancelto{0^{+}}{(x_{n}-2)^{2}}} \stackrel{n\to \infty }\longrightarrow \infty \]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4 - Odpowiedź

Z powyższych działań możemy wnioskować, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-1}{(x-2)^{2}}=\infty .\)

 Polecenie

Uzasadnij równości, korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji.

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x^4+6}{2-x^{3}}=-\infty \)

 Odpowiedź

Zakładamy, że \(x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow \infty .\)
Wówczas ciąg \[ f(x_{n})=\frac{x_{n}^4+6}{2-x_{n}^{3}}=\frac{x_{n}+{\Large\frac{6}{x_{n}^{3}}}}{{\Large\frac{2}{x_{n}^{3}}}-1}=\frac{\cancelto{+\infty }{x_{n}}+\cancelto{0}{{\Large\frac{6}{x_{n}^{3}}}}}{\cancelto{0}{{\Large\frac{2}{x_{n}^{3}}}}-1}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow -\infty .\]
Zatem \[{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x^4+6}{2-x^{3}}=-\infty .}\]

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}-2x}{x}=-2\)

 Odpowiedź

Zakładamy, że \(x_{n}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow 0 .\)
Wówczas
\[f(x_{n})=\frac{x_{n}^{2}-2x_{n}}{x_{n}}=\left [ \frac{0}{0} \right ]=\frac{x_{n}\left (x_{n}-2  \right )}{x_{n}\cdot 1}=\frac{\cancel{x_{n}}\left (\cancelto{0}{x_{n}}-2  \right )}{\cancel{x_{n}}\cdot 1}\stackrel{n\to \infty }\longrightarrow \frac{-2}{1}=-2.\]
Zatem \[\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2}-2x}{x}=-2.\]