Zadanie 1.2.1.1
Dodawanie wektorów oraz obliczanie długości
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa wektory: \(\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\), \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}\). Oblicz długość wektora będącego ich sumą.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - dodawanie i odejmowanie wektorów
W przypadku, gdy znamy współrzędne wektora, dodawanie (odejmowanie) wektorów polega na dodaniu (odjęciu) wartość występujących przy tych samych współrzędnych lub inaczej: dodajemy (odejmujemy) te same kolumny w macierzach.
Dane wektory:
\(\vec{a}=[x_a ,y_a ,z_a]\) oraz \(\vec{b}=[x_b ,y_b ,z_b]\)
Dodawanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=[x_a +x_b,y_a+y_b , z_a +z_b]\)
Odejmowanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=[x_a -x_b,y_a-y_b , z_a -z_b]\)
Zapis z wektorami jednostkowymi, czyli wersorami;
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=(x_a +x_b)\hat{i}+(y_a+y_b)\hat{j}+(z_a +z_b)\hat{k}\)
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=(x_a -x_b)\hat{i}+(y_a-y_b)\hat{j}+(z_a -z_b)\hat{k}\)
Dane wektory:
\(\vec{a}=[x_a ,y_a ,z_a]\) oraz \(\vec{b}=[x_b ,y_b ,z_b]\)
Dodawanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=[x_a +x_b,y_a+y_b , z_a +z_b]\)
Odejmowanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=[x_a -x_b,y_a-y_b , z_a -z_b]\)
Zapis z wektorami jednostkowymi, czyli wersorami;
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=(x_a +x_b)\hat{i}+(y_a+y_b)\hat{j}+(z_a +z_b)\hat{k}\)
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=(x_a -x_b)\hat{i}+(y_a-y_b)\hat{j}+(z_a -z_b)\hat{k}\)
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych \(\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\),
- wektor drugi o współrzędnych \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k }\).
Szukane:
- wektor \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\),
- długość wektora \(\vec{c}\).
Rozwiązanie
Krok 1
- obliczenie sumy wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=(3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k})+(-1\hat{i}+0\hat{j}+1\hat{k})\)
\(\vec{c}=(3-1)\hat{i}+(4+0)\hat{j}+(5+1)\hat{k}\)
\(\vec{c}=2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\)
\(\vec{c}=2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}\)
Krok 2
- obliczenie długości wektora.
Korzystając z własności iloczynu skalarnego wyznaczono długość wektora \(\vec{c}\)
\( c \)
\(\sqrt{x_c^{2}+y_c^{2}+z_c^{2}}\)
\(=\sqrt{2^{2}+4^{2}+6^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\)
Odpowiedź
Długość wektora wynosi \(c=2\sqrt{14}\).