Zadanie 1.2.1.2
Wskazówka teoretyczna
Dane wektory:
\(\vec{a}=[x_a ,y_a ,z_a]\), oraz \(\vec{b}=[x_b ,y_b ,z_b]\)
Dodawanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=[x_a +x_b,y_a+y_b , z_a +z_b]\)
Odejmowanie wektorów:
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=[x_a -x_b,y_a-y_b , z_a -z_b]\)
Zapis z wektorami jednostkowymi, czyli wersorami;
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=(x_a +x_b)\hat{i}+(y_a+y_b)\hat{j}+(z_a +z_b)\hat{k}\)
\(\vec{c}=\vec{a}- \vec{b}=(x_a -x_b)\hat{i}+(y_a-y_b)\hat{j}+(z_a -z_b)\hat{k}\)
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych \(\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\),
- wektor drugi o współrzędnych \(\vec{b}=-\hat{j}+2\hat{k }\).
Szukane:
- współrzędne wektorów \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\),
- długości wektorów \(\vec{c}\), \(\vec{d}\), \(\vec{e}\).
Rozwiązanie
Obliczenia dla wektora \(\vec{c}\)
Obliczenie sumy wektorów: \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\)
\(\vec{c}=\vec{a}+ \vec{b}=(1\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+(0\hat{i}-1\hat{j}+2\hat{k})\)
\(\vec{c}=(1+0)\hat{i}+(2-1)\hat{j}+(3+2)\hat{k}=1\hat{i}+1\hat{j}+5\hat{k}\)
\(\vec{c}=\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\)
Długość wektora \(\vec{c}\) wynosi:
\( c\)
\(\sqrt{x_c^{2}+y_c^{2}+z_c^{2}}\)
\(=\sqrt{1^{2}+1^{2}+5^{2}}=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}\)
Obliczenia dla wektora \(\vec{d}\)
Obliczenie różnicy wektorów: \(\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}\)
\(\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}=(1\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})-(0\hat{i}-1\hat{j}+2\hat{k})\)
\(\vec{d}=(1-0)\hat{i}+(2-(-1))\hat{j}+(3-2)\hat{k}=1\hat{i}+3\hat{j}+1\hat{k}\)
\(\vec{d}=\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
Długość wektora \(\vec{d}\) wynosi:
\(d\)
\(\sqrt{x_d^{2}+y_d^{2}+z_d^{2}}\)
\(=\sqrt{1^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}\)
Obliczenia dla wektora \(\vec{e}\)
Obliczenie różnicy wektorów: \(\vec{e}=\vec{b}-\vec{a}\)
\(\vec{e}=\vec{b}-\vec{a}= (0\hat{i}-1\hat{j}+2\hat{k})-(1\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})\)
\(\vec{e}=(0-1)\hat{i}+(-1-2)\hat{j}+(2-3)\hat{k}=-1\hat{i}-3\hat{j}-1\hat{k}\)
\(\vec{e}=-\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\)
Długość wektora \(vec{e}\) wynosi:
\(e\)
\(\sqrt{x_e^{2}+y_e^{2}+z_e^{2}}\)
\(=\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}\)
Odpowiedź
\(\vec{c}=\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}\) oraz \(c=\sqrt{27}\),
\(\vec{d}=\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) oraz \(d=\sqrt{11}\),
\(\vec{e}=-\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\) oraz \(e=\sqrt{11}\).