Wektor →a tworzy z osiami OX i OY kąty równe odpowiednio 45∘ i 120∘. Wyznacz jego współrzędne. Długość wektora wynosi 2.
Wskazówka teoretyczna
Teoria – cosinusy kierunkowe
Cosinusy kierunkowe opisują położenie wektora w przestrzeni.
Jeżeli wektor o współrzędnych →a=[ax,ay,az] i długości |→a| tworzy odpowiednio z osiami kąty φx,φy,φz, to cosinusy kierunkowe wektora →a wynoszą: cosφx=ax|→a|, cosφy=ay|→a|, cosφz=az|→a|. Kwadraty cosinusów kierunkowych danego wektora sumują się do jedności: cos2φx+cos2φy+cos2φz=1
Dane i szukane
Dane: - kąt kierunkowy z osią x φx=45∘, - kąt kierunkowy z osią y φy=120∘, - długość wektora →a=2.
Szukane: - współrzędne wektora →a.
Rozwiązanie
Z definicji cosinusów kierunkowych można zapisać:
ax=|→a|cosφx
Po podstawieniu danych otrzymujemy:
ax=2⋅cos45∘=2⋅√22=√2
Podobnie postępujemy w przypadku składowej y-owej:
Do obliczenia została składowa az. Można policzyć ją korzystając ze wzoru na długość wektora: √a2x+a2y+a2z2=√(√2)2+(−1)2+a2z podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:
4=2+1+a2z
a2z=1
az=±1
Odpowiedź
Współrzędne wektora →a wynoszą: →a=[√2,−1,1]=√2ˆi−ˆj+ˆk lub →a=[√2,−1,−1]=√2ˆi−ˆj−ˆk.