Processing math: 100%
Zadanie 1.2.1.5
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r1

 Zadanie 1.2.1.5

Cosinusy kierunkowe
Wektor a tworzy z osiami OXOY kąty równe odpowiednio 45120. Wyznacz jego współrzędne. Długość wektora wynosi 2.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria – cosinusy kierunkowe
Cosinusy kierunkowe opisują położenie wektora w przestrzeni.

Jeżeli wektor o współrzędnych a=[ax,ay,az] i długości |a| tworzy odpowiednio z osiami kąty φx,φy,φz, to cosinusy kierunkowe wektora a wynoszą:
cosφx=ax|a|,  cosφy=ay|a|cosφz=az|a|.
Kwadraty cosinusów kierunkowych danego wektora sumują się do jedności:
cos2φx+cos2φy+cos2φz=1
Cosinusy kierunkowe

Dane i szukane

Dane:
- kąt kierunkowy z osią x φx=45,
- kąt kierunkowy z osią y φy=120,
- długość wektora a=2.

Szukane:
- współrzędne wektora a.

Rozwiązanie

Z definicji cosinusów kierunkowych można zapisać:

ax=|a|cosφx

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

ax=2cos45=222=2

Podobnie postępujemy w przypadku składowej y-owej:

ay=2cos120 cos120=cos(18060)=cos60 =2(12)=1

Do obliczenia została składowa az. Można policzyć ją korzystając ze wzoru na długość wektora:
a2x+a2y+a2z 2=(2)2+(1)2+a2z podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:

4=2+1+a2z
a2z=1
az=±1

Odpowiedź

Współrzędne wektora a wynoszą: a=[2,1,1]=2ˆiˆj+ˆk lub a=[2,1,1]=2ˆiˆjˆk.