Rozwiązanie

Podczas rozwiązywania należy wykonać następujące kroki:

1. Wyznaczyć wektor \(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}\) oraz długość wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{c}\).
2. Korzystając z własności iloczynu skalarnego dwu wektorów wyznaczyć iloczyn \(\vec{a}\circ \vec{c}\) oraz kąt pomiędzy nimi.

Obliczenia:

Krok 1:
\(\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=(-\, \hat{i}+3\, \hat{j}+2\, \hat{k})+(-2\, \hat{i}+3\, \hat{k})\)
\(\vec{c}=(-1-2)\, \hat{i}+(3+0)\, \hat{j}+(2+3)\, \hat{k}\)
\(\vec{c}=-3\, \hat{i}+3\, \hat{j}+5\, \hat{k}\)

Długość wektora \(\vec{a}\):
\(\vec{a}=\left|a\right|=\sqrt{(a_{x})^2+(a_{y})^2+a_{z})^2}=\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}\)
\(\vec{c}=\left|c\right|=\sqrt{(c_{x})^2+(c_{y})^2+(c_{z})^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2+5^2}=\sqrt{43}\)

Krok 2:
Iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ \vec{c}\)
\(\vec{a}\circ \vec{c}=(-1)\cdot (-3)+3\cdot 3+2\cdot 5=22\)

Aby wyznaczyć wartość kąta, należy najpierw obliczyć cosinus tego kąta:
\(\displaystyle{\cos\, (\angle \vec{a},\vec{c})=\frac{\vec{a}\circ\vec{c}}{a\,c}}\)
\(\displaystyle{\cos\, (\angle \vec{a},\vec{c})=\frac{22}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{43}}=0,897}\)
\(\operatorname{arc}\, \cos\, (0,897)=26,28^{\circ}\)

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, więc \(\cos\,(\alpha)=\cos\,(-\alpha)\). Rozwiązaniem może być również kąt \(-26,28^{\circ}\).