Rozwiązanie

Podczas rozwiązywania należy wykonać następujące kroki:

1. Wyznaczyć wektor $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ oraz długość wektorów $\vec{a}$ i $\vec{c}$.
2. Korzystając z własności iloczynu skalarnego dwu wektorów wyznaczyć iloczyn $\vec{a}\circ \vec{c}$ oraz kąt pomiędzy nimi.

Obliczenia:

Krok 1:
$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=(-\, \hat{i}+3\, \hat{j}+2\, \hat{k})+(-2\, \hat{i}+3\, \hat{k})$
$\vec{c}=(-1-2)\, \hat{i}+(3+0)\, \hat{j}+(2+3)\, \hat{k}$
$\vec{c}=-3\, \hat{i}+3\, \hat{j}+5\, \hat{k}$

Długość wektora $\vec{a}$:
$\vec{a}=\left|a\right|=\sqrt{(a_{x})^2+(a_{y})^2+a_{z})^2}=\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2}=\sqrt{14}$
$\vec{c}=\left|c\right|=\sqrt{(c_{x})^2+(c_{y})^2+(c_{z})^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2+5^2}=\sqrt{43}$

Krok 2:
Iloczyn skalarny $\vec{a}\circ \vec{c}$
$\vec{a}\circ \vec{c}=(-1)\cdot (-3)+3\cdot 3+2\cdot 5=22$

Aby wyznaczyć wartość kąta, należy najpierw obliczyć cosinus tego kąta:
$\displaystyle{\cos\, (\angle \vec{a},\vec{c})=\frac{\vec{a}\circ\vec{c}}{a\,c}}$
$\displaystyle{\cos\, (\angle \vec{a},\vec{c})=\frac{22}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{43}}=0,897}$
$\operatorname{arc}\, \cos\, (0,897)=26,28^{\circ}$

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, więc $\cos\,(\alpha)=\cos\,(-\alpha)$. Rozwiązaniem może być również kąt $-26,28^{\circ}$.