Zadanie 1.3.1.4
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 1. Wektory
  3. 1.3 Iloczyn skalarny
  4. 1.3.1 Nauka
  5. Zadanie 1.3.1.4

 Zadanie 1.3.1.4

Iloczyn skalarny, wektor jednostkowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest wektor: \(\vec{a}=3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k}\). Wyznacz wektor jednostkowy kierunku ustalonego przez ten wektor.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria – wektor jednostkowy
Jest to wektor o długość wynoszącej \(1\), a ustawienie w przestrzeni (ew. na płaszczyźnie) jest dowolne. Oznaczany jest często przez \(\vec{n}\) lub \(\vec{e}\). Wektor jednostkowy wskazuje kierunek przy pominięciu informacji o wartości.

Dowolny wektor \(\vec{a}\) jest równy wektorowi jednostkowemu skierowanemu zgodnie z kierunkiem tego wektora pomnożonemu przez długość \(\vec{a}\).
\(\vec{a}=\vec{n}\cdot \left | \vec{a} \right |\)

Wektor jednostkowy wyznacza jednostki osi w układzie współrzędnych.

Dane i szukane

Dane:
- współrzędne wektora: \(\vec{a}=3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k}\).

Szukane:
- wektor jednostkowy o kierunku ustalonym przez dany wektor \(\vec{a}\).

Rozwiązanie

Należy wyznaczyć wektor \(\vec{n}\) o długości równej \(1\) i kierunku równoległym do wektora \(\vec{a}\). Każdy wektor powstały z danego wektora, poprzez przemnożenie go przez dowolną dodatnią liczbę, jest do niego równoległy.

Przemnożenie wektora przez dowolną, różną od zera, liczbę nie zmienia kierunku wektora (prostej na której on leży). Zatem, aby wyznaczyć wektor \(\vec{n}\) wystarczy przemnożyć wektor \(\vec{a}\) przez odwrotność jego długości.

Długość wektora \(\vec{a}\) wynosi:

\(\vec{a}=\left|\vec{a}\right|=\sqrt{(a_{x})^2+(a_{y})^2+(a_{z})^2}=\sqrt{3^2+6^2+8^2}=\sqrt{109}\)
Wektor jednostkowy:
\(\displaystyle{\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{109}}\cdot (3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k})=\frac{1}{\sqrt{109}}\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}\cdot (3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k})}\)
\(\displaystyle{\vec{n}=\frac{\sqrt{109}}{109}\cdot (3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k})}\)

Odpowiedź

Wektor jednostkowy wynosi \(\displaystyle{\vec{n}=\frac{\sqrt{109}}{109}\cdot (3\, \hat{i}-6\, \hat{j}+8\, \hat{k})}\).