Zadanie 1.3.2.1
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- współrzędne wektora pierwszego \(\vec{a}=\frac{1}{2}\hat{i}-2\, \hat{j}+2\, \hat{k}\),
- współrzędne wektora drugiego \( \vec{b}=-2\, \hat{i}+\frac{1}{4} \hat{j}\).
Szukane:
- iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ \vec{b}\),
- iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})\).
Odpowiedź
Iloczyny skalarne wynoszą: \(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}=-\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})=6\frac{3}{4}}\).
\(\vec{a}\circ \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}\),
gdzie \(\vec{a}=[ x_{a}, y_{a}, z_{a}]\) oraz \(\vec{b}=[ x_{b}, y_{b}, z_{b}]\).
\(\vec{a}+\vec{b}=\left(x_{a}+x_{b}\right)\hat{i}+\left(y_{a}+y_{b}\right)\hat{j}+\left(z_{a}+z_{b}\right)\hat{k}\),
gdzie \(\vec{a}=[ x_{a}, y_{a}, z_{a}]\) oraz \(\vec{b}=[ x_{b}, y_{b}, z_{b}]\)
Polecenie
Oblicz iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ \vec{b}\) i wybierz jedną prawidłową odpowiedź spośród trzech.
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}=\frac{2}{3}}\)
\(\vec{a}\circ \vec{b}=2\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}=-\frac{3}{2}}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}=\frac{1}{2}\cdot(-2)-2\cdot\frac{1}{4}+2\cdot0=-1-\frac{1}{2}}=-\frac{3}{2}\)
Polecenie
Oblicz iloczyn skalarny \(\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})\) i wybierz jedną prawidłową odpowiedź spośród trzech.
\(\displaystyle{\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})=6\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})=-6\frac{3}{4}}\)
Własność iloczynu skalarnego \((\vec{a}+\vec{b})\circ\vec{c}=(\vec{a}\circ\vec{c})+(\vec{b}\circ\vec{c})\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ\vec{a}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+(-2)\cdot(-2)+2\cdot2=8\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}= -\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})=8\frac{1}{4}+(-\frac{3}{2})=6\frac{3}{4}}\)
Suma dwóch wektorów:
\(\displaystyle{\vec{c}=\left(\frac{1}{2}-2\right)\hat{i}+\left(-2+\frac{1}{2}\right)\hat{j}+\left(2+0\right)\hat{k}}\)
\(\displaystyle{\vec{c}=-\frac{3}{2}\,\hat{i}-\frac{7}{4}\,\hat{j}+2\,\hat{k}}\)
Iloczyn skalarny
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{c}=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+\left(-2\right)\cdot\left(-\frac{7}{4}\right)+2\cdot2}\)
\(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{c}=-\frac{3}{4}+\frac{14}{4}+4=6\frac{3}{4}}\)
Odpowedź
Iloczyny skalarne wynoszą: \(\displaystyle{\vec{a}\circ \vec{b}=-\frac{3}{2}}\) oraz \(\displaystyle{\vec{a}\circ (\vec{a}+\vec{b})=6\frac{3}{4}}\).