Zadanie 1.4.1.1
Iloczyn wektorowy
Dane są dwa wektory: \(\vec{a}=\hat{i}+2\, \hat{j}+3\, \hat{k}\) oraz \(\vec{b}=-\, \hat{j}+2\, \hat{k}\). Oblicz iloczyn wektorowy \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - iloczyn wektorowy
Definicję iloczynu wektorowego można przedstawić jako wyznacznik macierzy formalnej:
\[\vec{a}\times \vec{b}= \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\]
Dalej rozwinięcie Laplace'a:
\[\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} a_{y} & a_{z}\\ b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\, \hat{i}- \begin{vmatrix} a_{x} & a_{z}\\ b_{x} & b_{z}\end{vmatrix}\, \hat{j}+
\begin{vmatrix} a_{x} & a_{y}\\ b_{x} & b_{y}\end{vmatrix}\, \hat{k}\]
Następnie korzystając z reguły Sarrusa mamy:
\[\vec{a}\times \vec{b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\, \hat{i}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\, \hat{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\, \hat{k}\]
\[\vec{a}\times \vec{b}= \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\]
Dalej rozwinięcie Laplace'a:
\[\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} a_{y} & a_{z}\\ b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\, \hat{i}- \begin{vmatrix} a_{x} & a_{z}\\ b_{x} & b_{z}\end{vmatrix}\, \hat{j}+
\begin{vmatrix} a_{x} & a_{y}\\ b_{x} & b_{y}\end{vmatrix}\, \hat{k}\]
Następnie korzystając z reguły Sarrusa mamy:
\[\vec{a}\times \vec{b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\, \hat{i}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\, \hat{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\, \hat{k}\]
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych \(\vec{a}=1\, \hat{i}+2\, \hat{j}+3\, \hat{k}\),
- wektor drugi o współrzędnych \(\vec{b}=-\, \hat{j}+2\, \hat{k}\).
Szukane:
- iloczyn wektorowy \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\)
Rozwiązanie
\(\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}
=(2\cdot 2-3\cdot (-1))\, \hat{i}+(3\cdot 0-2\cdot 1)\, \hat{j}+(1\cdot (-1)-2\cdot 0)\,\hat{k}\)
Odpowiedź
Iloczyn wektorowy wynosi \(\vec{a}\times \vec{b}=7\, \hat{i}-2\, \hat{j}-\, \hat{k}\).