Zadanie 1.4.1.5
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 1. Wektory
  3. 1.4 Iloczyn wektorowy
  4. 1.4.1 Nauka
  5. Zadanie 1.4.1.5

 Zadanie 1.4.1.5

Moment siły
Na punkt materialny \(A\), którego położenie w kartezjańskim układzie współrzędnych określa wektor \(\vec{r}=7\,\hat{i}+5\,\hat{j}\,\mathrm{[m]}\), działa siła \(\vec{F}=-3\, \hat{i}+\hat{j}\,\mathrm{[N]}\). Oblicz moment tej siły względem punktu \(P\), którego położenie określa wektor \(\vec{r_{1}}=\hat{i}+5\,\hat{j}\,\mathrm{[m]}\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - moment siły
Z definicji momentu sił wynika, że jest on iloczynem wektorowym wektora wodzącego \(\vec{R}\) punktu przyłożenia siły i wektora siły \(\vec{F}\). Wektor wodzący liczony jest względem punktu wobec, którego wyznaczamy moment siły.
\[\vec{M}=\vec{R}\times\vec{F}\]

Dane:
- wektor siły: \(\vec{F}= -3\, \hat{i}+\hat{j}\,\mathrm{[N]}\),
- wektor położenia punktu materialnego: \(\vec{r}= 7\,\hat{i}+5\,\hat{j}\,\mathrm{[m]}\),
- wektor położenia punktu \(P\): \(\vec{r_{1}}= \hat{i}+5\,\hat{j}\,\mathrm{[m]}\).

Szukane:
- moment siły względem punktu \(P\): \(\vec{M}\)

Graficzne przedstawienie momentu siły
Graficzne przedstawienie momentu siły
 Teoria - wektor wodzący i wektor położenia

Wektor wodzący jest to wektor łączący początek układu współrzędnych z miejscem w przestrzeni, w którym znajduje się punkt materialny w danej chwili czasu (na rysunku \(\vec{r_{1}}\) oraz  \(\vec{r_{2}}\)).

Wektorem położenia punktu B względem punktu A jest wektor wodzący \(\vec{r_{12}}\), którego początek znajduje się w punkcie odniesienia (A), a koniec w punkcie, którego położenie określamy (B).
Wektory wodzące i wektor położenia

Rozwiązanie

Obliczenia należy rozpocząć od wyznaczenia wektora wodzącego \(\vec{R}\):

\(\vec{R}=\vec{r_1}-\vec{r}=(\hat{i}+5\,\hat{j})-(7\, \hat{i}+5\,\hat{j}) \)
\(\vec{R}=(1-7)\, \hat{i}-(-5+5)\hat{j}=-6\, \hat{i}\)
\(\vec{R}=-6\, \hat{i}\,\mathrm{[m]}\)

Moment tej siły względem punktu \(P\) jest iloczynem wektorowym \(\vec{M}=\vec{R}\times\vec{F}\):

\(\vec{M}=(R_{y}F_{z}-F_{y}R_{z})\, \hat{i}+(R_{z}F_{x}-F_{z}R_{x})\,\hat{j}+(R_{x}F_{y}-F_{x}R_{y})\, \hat{k}\)
\(\vec{M}=(0\cdot 0-1\cdot 0)\, \hat{i}+(0\cdot(-3)-0\cdot(-6))\,\hat{j}+(-6\cdot1-(-3)\cdot0)\, \hat{k}\)
\(\vec{M}=0\, \hat{i}+0\,\hat{j}-6\, \hat{k}=-6\, \hat{k}\,\mathrm{[m\cdot N]}\)

Wektor momentu siły ma różną od zera jedynie składową zetową, czyli jest prostopadły do płaszczyzny \(XY\).

Odpoweidź

Moment siły wynosi \(\vec{M}=-6\, \hat{k}\,\mathrm{[m\cdot N]}\).