Zadanie 1.4.2.1
Informacja
Możesz zobaczyć odpowiedź ,klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.
Dane i szukane
Dane:
- wektor pierwszy o współrzędnych \(\vec{a}=0,5\, \hat{i}+2\, \hat{j}+3\, \hat{k}\),
- wektor drugi o współrzędnych \(\vec{b}=x\,\hat{i}+4\, \hat{j}+y\, \hat{k}\),
- wektor będący wynikiem iloczynu wektorowego \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}=-8\,\hat{i}+p\,\hat{j}\).
Szukane:
- \(x=?\), \(y=?\), \(p=?\).
Odpowiedź
Niewiadome \(x\), \(y\) oraz p wynoszą: \(x=1\), \(y=2\) oraz \(p=2\).
Polecenie
Wskaż jeden, wśród dwóch, prawidłowy wynik iloczynu wektorowego \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\).
\(\vec{a}\times \vec{b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\, \hat{i}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\, \hat{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\, \hat{k}\)
Rozwiązanie
Iloczyn wektorowy \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\) wynosi:
\(\vec{a}\times \vec{b}=\left ( 2y-3\cdot 4 \right )\hat{i}+\left ( 3x-0,5y \right )\hat{j}+\left ( 0,5\cdot 4-2x\right )\hat{k}\)
\(\vec{a}\times \vec{b}=\left ( 2y-12 \right )\hat{i}+\left ( 3x-0,5y \right )\hat{j}+\left(2-2x\right)\hat{k}\)
Rozwiązanie
Wiemy, że wektor \(\vec{c}\) jest wynikiem iloczynu wektorowego \(\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}\), więc
\(-8\hat{i}+p\,\hat{j}+0\,\hat{k}=\left ( 2y-12 \right )\hat{i}+\left ( 3x-0,5y \right )\hat{j}+\left(2-2x\right)\hat{k}\)
Z porównania odpowiednich współrzędnych wektora można obliczyć niewiadome \(x\), \(y\) oraz \(p\).
\(c_{x}=-8=2y-12\)
\(y=2\)
\(c_{z}=0=2-2x\)
\(x=1\)
\(c_{y}=p=3x-0,5y\)
\(3x-0,5y=3\cdot 1-0,5\cdot 2=2=p\)
Odpowiedź
Niewiadome \(x\), \(y\) oraz p wynoszą: \(x=1\), \(y=2\) oraz \(p=2\).