Zadanie 2.1.1.1
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.1. Ruch prostoliniowy
  4. 2.1.1 Nauka
  5. Zadanie 2.1.1.1

 Zadanie 2.1.1.1

Szybkość średnia
Pierwszą połowę drogi pojazd przebył z prędkością \(\displaystyle{72\ \mathrm{\frac{km}{h}} }\), a drugą z prędkością \(\displaystyle{90\ \mathrm{\frac{km}{h}} }\). Oblicz średnią wartość prędkości (szybkość średnią) pojazdu na trasie.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - szybkość średnia
Szybkość średnia to iloraz drogi i czasu, w którym droga ta została pokonana. Szybkość średnia wyrażona jest wzorem \[ v_{śr}=\frac{\Delta S}{\Delta t}, \] gdzie:
           \(\Delta S\) oznacza całkowitą drogę pokonaną przez ciało,
           \(\Delta t\) oznacza całkowity czas ruchu.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Teoria

Prędkość ciała a wektor prędkości.

W życiu codziennym przez prędkość rozumiemy stosunek drogi do czasu, w którym została przebyta (wartość skalarna). W fizyce prędkość \(\vec{v}\) (podobnie jak przyspieszenie, pęd, siła, itp.) jest wektorem. Wielkość \(v=\left | \vec{v} \right |\) powinniśmy nazywać wartością prędkości. W praktyce długość wektora prędkości \(v\) nazywana jest szybkością lub wartością wektora prędkości. Słowo „szybkość” najczęściej używane jest przy wyznaczaniu średniej wartości prędkości - wielkość skalarna dla odróżnienia obliczeń dla wartości wektorowych. Tak więc mamy szybkość średnią (wartości skalarne) oraz prędkość średnią (wartości wektorowe).

Definicje:

Wielkości skalarne

  • Szybkość = moduł wektora prędkości = wartość wektora prędkości: \(v=\left | \vec{v} \right |\). Szybkość jest równa pochodnej drogi po czasie: 
\(\displaystyle{v(t)=\sqrt{\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\circ \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t}}=\frac{\sqrt{\mathrm{d}\vec{r}\circ\mathrm{d}\vec{r}}}{\sqrt{\mathrm{d}t\cdot\mathrm{d}t}}=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}}\)

  • Średnia szybkość:
\(\displaystyle{v_{śr}=\frac{\Delta S}{\Delta t}}\)

Wielkości wektorowe

  • Prędkość średnia
\(\displaystyle{\vec{v}_{śr}(t)=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\Delta\vec{r}_2(t)-\Delta\vec{r}_1(t)}{t_2-t_1}}\)

  • Wektor prędkości chwilowej (styczny do toru w punkcie, w którym cząstka znajduje się w danej chwili):
\(\displaystyle{\vec{v}(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r} }{\mathrm{d} t}}\)

Dane i szukane

Dane:
- szybkość pojazdu na odcinku \(0,5\,\mathrm{s}\): \(v_1 = 72\ \mathrm{\displaystyle{\frac{km}{h}}}\),
- szybkość pojazdu na odcinku \(0,5\,\mathrm{s}\): \(v_2 = 90\ \mathrm{\displaystyle{\frac{km}{h}}}\).

Szukane:
- szybkość średnia, z jaką pojazd pokonał drogę \(S\): \(v_{śr}\).

Rysunek
Rysunek

Rozwiązanie

Szybkość średnią obliczymy ze wzoru:

\(\displaystyle{v_{śr}=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\large{\frac{\frac{S}{2}+\frac{S}{2}}{t_1+t_2}}}\)

Czas, po którym samochód przebył pierwszą połowę drogi z prędkością \(v_{1}\), wynosi:

\(\displaystyle{t_{1}=\frac{\frac{1}{2} S}{v_1}=\frac{S}{2v_{1}}} \) oraz  \(\displaystyle{t_2=\frac{\frac{1}{2}S}{v_2}=\frac{S}{2v_{2}}}\)

Podstawiając \(t_1\) i \(t_2\) do wzoru na szybkość średnią, otrzymujemy:

\(\displaystyle{v_{śr}=\frac{S}{t_1+t_2} =\frac{S}{\large{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}} =\frac{S}{S \left(\large{\frac{1}{2v_1}+\frac{1}{2v_2}}\right)}}\)
\(\displaystyle{v_{śr}=\frac{2\,v_{2}\,v_{1}}{v_{1}+v_{2}}}\)

Pozostaje nam podstawić dane liczbowe i obliczyć szybkość średnią pojazdu:

\(\displaystyle{ v_{śr}=\frac{2\cdot72\cdot90}{72+90}=80\ \mathrm{\frac{km}{h}}} \)      \(\mathrm{\left [\frac{\displaystyle{\frac{km^2}{h^2}}}{\displaystyle{\frac{km}{h}}}=\displaystyle{\frac{km}{h}}  \right ]}\)

Powyższe wykresy przedstawiają zależność prędkości pojazdu od czasu na całej trasie.
Droga przebyta przez pojazd, równa jest polu powierzchni pod wykresem prędkości w funkcji czasu, czyli:
\(S=v_1t_1+v_2t_2=v_{śr}(t_1+t_2)\)

Odpowiedź

Szybkość średnia \(v_{śr}\) pojazdu na drodze długości \(S\) wyniosła \(80\ \displaystyle{\mathrm{\frac{km}{h}}}\).