Zadanie 2.1.1.5
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.1. Ruch prostoliniowy
  4. 2.1.1 Nauka
  5. Zadanie 2.1.1.5

 Zadanie 2.1.1.5

Ruch zmienny
Kinematysław wykonywał codzienne ćwiczenia. Rozpoczął od krótkiego biegu. W pewnym momencie, kiedy biegł po prostej drodze z wartością prędkości równą \(\displaystyle{v_0=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) rozpoczął przyspieszanie określone wzorem \(\displaystyle{a=2\,v\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Jaką drogę przebył w ciągu \(2\) sekund przyspieszania?
Rysunek

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wartość prędkości, od której Kinematysław rozpoczął przyspieszanie \(\displaystyle{v_0=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- przyspieszenie określone wzorem \(a=2\,v\),
- czas trwania ruchu przyspieszonego \(t_p=2\,\mathrm{s}\).

Szukane:
- Droga, podczas której Kinematysław jednostajnie przyspieszał \(S_p\).

Analiza sytuacji

W treści zadania podany jest wzór określający wartość przyspieszenie w zależności od prędkości. W takim przypadku wygodnie jest skorzystać z całek.
 Całkowanie jest operacją matematyczną odwrotną do różniczkowania (szukania pochodnej). Przykład \(\int\alpha\,\mathrm{d}t=\alpha\,t+C\) 
W rozwiązaniu przyda się również znajomość definicji przyspieszenie w ruchu prostoliniowym \(\displaystyle{a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}}\).
Podstawiając zależność opisująca przyspieszenie do definicji podanej powyżej otrzymujemy równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}=2\,v}\)

Rozwiązanie

W równaniu \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}=2\,v}\) należy najpierw rozdzielić zmienne.

\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{v}=2\,\mathrm{d}t}\)
Kolejnym etapem jest obustronne całkowanie:
\(\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}v}{v}=\int 2\,\mathrm{d}t}\)
 \(\displaystyle{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x}\) 
\(\ln v=2\,t+C_1\)  (1)
Stałą całkowania \(C_1\) obliczamy korzystając z warunków początkowych, tzn., iż interesują nas parametry opisujące ruch w chwili początkowej: czas, w którym rozpoczęło się przyspieszanie wynosi \(t_0=0\) oraz czas, w którym Kinematysław miał szybkość \(v_0\). Do powyższego wzoru podstawiamy te wartości:
\(\ln v_0=2\cdot0+C_1\)
\(C_1=\ln v_0\)
Otrzymana wartość podstawiamy do wzoru (1):
\(\ln v=2\,t+\ln v_0\)
\(\displaystyle{\ln\frac{v}{v_0}=2\,t}\)
Z  \(\displaystyle{\log_ac=b\, \Leftrightarrow a^b=c}\)  logarytmu mamy:
\(\displaystyle{e^{2t}=\frac{v}{v_0}}\)
\(\displaystyle{v=v_0\,e^{2t} }\)
Przebytą drogę należy obliczyć z zależności \(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}}\). Wzór ten przekształcamy do postaci z rozdzielonymi zmiennymi.
\(\mathrm{d}S=v\,\mathrm{d}t\)
Kolejnym etapem jest obustronne całkowanie:
\(\int \mathrm{d}S=\int v\,\mathrm{d}t\)

 \[\int \mathrm{d}S=\int v_0\,e^{2t}\,\mathrm{d}t \\ S=v_0\int e^{2t}\] 
\(\displaystyle{S=v_0\,\frac{1}{2}e^{2t}+C_2}\)
Stałą całkowania \(C_2\) obliczamy korzystając z warunków początkowych, tzn.: droga \(S=0\) oraz czas \(t=0\) początkowa wynoszą zero.

 \[\displaystyle{0=\frac{1}{2}\,v_0\,e^{2\cdot 0}+C_2 \\ C_2=-\frac{1}{2}v_0 \\ S=\frac{1}{2}v_0\,e^{2t}-\frac{1}{2}v_0}\] 
\(\displaystyle{S=\frac{1}{2}v_0\,(e^{2t}-1)}\)
Wyznaczona została zależność, pod którą wystarczy podstawić dane z zadania.
\(\displaystyle{S=\frac{1}{2}\cdot2 \,(e^{2\cdot 2}-1)=e^4-1\approx53,6}\)
\(S \approx53,6\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź

W ciągu \(2\) sekund przyspieszania Kinematysław przebył drogę \(S \approx53,6\,\mathrm{m}\).