Zadanie 2.2.1.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.2. Ruch w układzie kartezjańskim
  4. 2.2.1 Nauka
  5. Zadanie 2.2.1.3
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.2.1.3

Przyspieszenie średnie

Zależność przebytej przez ciało drogi \(S\) od czasu podaje równanie \(S=b+ct+gt^2+ht^3\), gdzie \(\displaystyle{g=0,7\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)  oraz  \(\displaystyle{h=0,1\,\mathrm{\frac{m}{s^3}}}\). Po jakim czasie od rozpoczęcia ruchu przyspieszenie ciała będzie równe \(\displaystyle{3,2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)? Jakie będzie średnie przyspieszenie w tym przedziale czasu?

 

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - przyspieszenie
Przyspieszenie \(\vec{a}\) w ruchu jednostajnie przyspieszonym wynosi:

\(\displaystyle{\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d^2}\vec{r} }{\mathrm{d} t^2}}\)

\(\vec{v}\) - prędkość,
\(\vec{r}\) - wektor położenia,
\(t\) - czas.

Dane i szukane

Dane:
- zależność opisująca przebytą drogę \(S(t)=b+ct+gt^2+ht^3\),
- współczynnik równania \(\displaystyle{g=0,7\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\),
- współczynnik równania \(\displaystyle{h=0,1\,\mathrm{\frac{m}{s^3}}}\),
- przyspieszenie \(\displaystyle{3,2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\) w czasie \(t\).

Szukane:
- czas \(t\) po jakim przyspieszenie wynosi osiąga wartość \(\displaystyle{3,2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\),
- wartość średniego przyspieszenia w rozpatrywanym przedziale czasu.

Rozwiazanie

W treści zadania podana jest zależność przebytej przez ciało drogi od czasu. W takim przypadku można wyznaczyć zależność opisującą prędkość oraz przyspieszenie od czasu. W tym celu należy skorzystać z pochodnych.

Szybkość jest pierwszą pochodną położenia po czasie:
 \((a\,x^\alpha)'=a\cdot\alpha\,x^{\alpha-1}\) 

\(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}}\)
 \[\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}(b+ct+0,7\,t^2+0,1\,t^3) }{\mathrm{d} t}}\] \[v(t)=c+0,7\cdot2t+0,1\cdot3t^2\] 
\(v(t)=c+1,4\,t+0,3\,t^2\)

Pochodna zależności opisującej przyspieszenie w czasie, pozwoli wyznaczyć zależność na przyspieszenie w funkcji czasu.
\(\displaystyle{a=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}}\)
 \[\displaystyle{a=\frac{\mathrm{d}(c+1,4t+0,3t^2) }{\mathrm{d} t}}\] \[(a(t)=1,4+0,3\cdot 2t\] 
\(a(t)=1,4+0,6\,t\)

Czas, po którym przyspieszenie osiąga wartość \(\displaystyle{3,2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\) obliczamy następująco:
\(3,2=1,4+0,6\,t\)
\(1,8=0,6\,t\)
\(\displaystyle{t=\frac{1,8}{0,6}=3\;\mathrm{s}}\)

Średnie przyspieszenie w przedziale czasu od \(0\) do \(3\;\mathrm{s}\) obliczamy z zależności:
\(\displaystyle{a_{śr}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}}\)
  \[v_1=v(0)=c+1,4\cdot 0+0,3\cdot 0^2=c\] \[v_2=v(3)=c+1,4\cdot 3+0,3\cdot 3^2\] \[v_2=c+4,2+2,7=c+6,9\] \[\displaystyle{a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{c+6,9-c}{3-0}=2,3}\] 
 
\(\displaystyle{a_{śr}=2,3\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
z wykorzystaniem całki.

Przyspieszenie średnie możemy obliczyć wykorzystując zależność \(a(t)\). W tym celu policzymy całkę
\[a_{śr}=\frac{1}{t_2-t1}\int_{t_1}^{t_2}a(t)\,\mathrm{d}t\]
Przedział czasu w jakim mamy policzyć średnie przyspieszenie wynosi \(3\) sekundy i stąd wiemy, że \(t_1=0\) oraz \(t_2=3\) sekundy.
\[a_{śr}=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}(1,4+1,6t)\,\mathrm{d}t\]
Całkując wyrażenie \(a(t)\) otrzymamy równanie opisujące zmiany prędkości bez stałej \(c\). Do obliczeń użyjemy wzorów:
(1) \(\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}b\,\mathrm{d}x=\left [ bx \right ]_{x_1}^{x_2}=b\cdot x_2-b\cdot x_1} \)
(2) \(\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}b x^{\alpha}\,\mathrm{d}x=\left [ b\cdot\frac{1}{\alpha+1 } x^{\alpha +1} \right ]_{x_1}^{x_2}=\frac{b}{\alpha+1 } \cdot x_2^{\alpha +1}-\frac{b}{\alpha+1 }\cdot x_1^{\alpha +1}}\)

\[\displaystyle{a_{śr}=\frac{1}{3}\left [ 1,4\cdot t+0,6\cdot\frac{1}{2}t^2 \right ]_0^3 =\frac{1}{3}\left [ 1,4\cdot 3+0,3\cdot 3^2- 1,4\cdot 0-0,3\cdot 0^2 \right ]} \]
\[\displaystyle{a_{śr}=\frac{1}{3} \left (4,2+2,7\right )=2,3\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\]

Odpowiedź

Po \(t=3\;\mathrm{s}\) przyspieszenie ciała będzie równe \(\displaystyle{3,2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Średnie przyspieszenie w przedziale czasu od \(0\) do \(t=3\;\mathrm{s}\) wynosi \(\displaystyle{a_{śr}=2,3\;\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).