Zadanie 2.3.1.1
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.3. Składanie ruchów - rzuty
  4. 2.3.1 Nauka
  5. Zadanie 2.3.1.1

 Zadanie 2.3.1.1

Ruch jednostajnie zmienny
Dwa ciała spadają swobodnie z różnych wysokości, lecz docierają do ziemi w tej samej chwili. Pierwsze z nich spadało w czasie \(1\,\mathrm{s}\), a drugie w czasie \(2\,\mathrm{s}\). W jakiej odległości od ziemi znajdowało się drugie ciało, gdy pierwsze zaczęło spadać?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - spadek swobodny
Położenie ciała w pewnej, dowolnej chwili \(t\), rzuconego pionowo w dół, z wysokości \(h\) nad powierzchnią Ziemi z wartością prędkości początkowej \(v_0\):
\(\displaystyle{y=h-v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)

Współrzędna prędkości ciała w pewnej, dowolnej chwili \(t\):
\(v_y=-v_0-gt\)

Ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową. W ruchu tym ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem, bo działa stała siła.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- czas spadania pierwszego ciała \(t_1=1\,\mathrm{s}\),
- czas spadania drugiego ciała \(t_2=2\,\mathrm{s}\),
- wartość przyspieszenia ziemskiego \(\displaystyle{10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Szukane:
- odległości od ziemi w jakiej znajdowało się drugie ciało, gdy pierwsze zaczęło spadać \(h_2\)

Analiza sytuacji

Pierwsze ciało wylądowało w krótszym czasie, więc zaczęło spadek z niższej wysokości \(h_1\), niż ciało drugie. W zadaniu należy określić na jakiej wysokości znajdowało się drugie ciało, gdy pierwsze zaczęło spadać, a nie z jakiej wysokości spada drugie ciało. Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający tę sytuację.

Spadające ciała


Z rysunku wynika, że wysokość na jakiej znajdowało się drugie ciało, gdy pierwsze rozpoczęło spadanie, jest równa różnicy drogi, jaką przebyło drugie ciało i odcinka \(AC\). Odcinek \(AC\) jest drogą, jaką przebyło drugie ciało do momentu rozpoczęcia spadku przez pierwsze. Należy określić jak długo spadało to ciało zanim znalazło się w punkcie \(C\) i wyznaczyć długość odcinka \(AC\).

W momencie, gdy puszczono pierwsze ciało, drugie było już przez czas \(t=t_2-t_1\) w ruchu. W tym czasie przebyło drogę:

\(\displaystyle{AC=\frac{g(t_2-t_1)^2}{2}}\)
W całym czasie trwania spadku ciało drugie przebyło drogę:
\(\displaystyle{AB=\frac{g\,t_2^2}{2}}\)
Natomiast, z rysunku widać, że droga \(h_2\) jest równa: \(h_2=AB-AC\)
Uzyskaliśmy układ trzech równań, w którym są trzy niewiadome, więc teraz zostało już tylko rozwiązanie układu równań.

Rozwiązanie

\(\left\{\begin{matrix} AC=& \Large{\frac{g(t_2-t_1)^2}{2}} \\ AB=& \Large{\frac{g\,t_2^2}{2}}\\ h_2=& AB-AC \end{matrix}\right.\)

Podstawiając do ostatniego równania kolejno dwa pierwsze równania otrzymujemy:
Zatem więc droga \(h_2\) wynosi:
\(\displaystyle{h_2=\frac{gt_2^2}{2}-\frac{g(t_2-t_1)^2}{2}}\)  \(\displaystyle{=\frac{gt_2^2-g(t_2^2-2t_2 t_1+t_1^2)}{2}=\frac{gt_2^2-gt_2^2+2gt_2t_1-gt_1^2}{2}=\frac{g(2t_2 t_1-t_1^2)}{2}}\)  \(\displaystyle{=\frac{gt_1(2t_2-t_1)}{2} }\)
\(\displaystyle{h_2=\frac{10\cdot 1(2\cdot2-1)}{2}=\frac{30}{2}=15 }\)   \(\displaystyle{\left [ \frac{m}{s^2}\cdot s^2=m \right ]}\)
\(h_2=15\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź

Drugie ciało, w momencie, gdy pierwsze zaczęło spadać, było w odległości \(15\,\mathrm{m}\) od ziemi.