Zadanie 2.3.1.6
Wskazówka teoretyczna
Wartości składowe prędkości →v w dowolnej chwili t:
Współrzędne ciała w dowolnej chwili t:
Maksymalna wysokość rzutu:
Czas potrzebny na osiągniecie wysokości maksymalnej h:
Zasięg rzutu:
Czas rzutu:
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- wysokość, z której rzucono piłkę h=10m,
- prędkość początkowa v0=20ms,
- przyspieszenie ziemskie g=9,81ms2.
Szukane:
- prędkość po sprężystym odbiciu od poziomego podłoża →v,
- odległość między pierwszym a drugim miejscem uderzenia od podłoża Δx.
Analiza sytuacji
Ciało oddziałuje z Ziemią grawitacyjnie. W pobliżu Ziemi siła grawitacyjna w dobrym przybliżeniu jest stała i wyrażamy ją wzorem →F=m→g, nazywając natężenie pola natężenie pola grawitacyjnego Ziemi g przyspieszeniem ziemskim. W pobliżu Ziemi działa także siła oporu powietrza, ale ją pomijamy.
Sposób I - równania ruchu
Masa ciała jest stała, więc równanie ruchu uzyskujemy z drugiej zasady dynamiki w postaci:
Po wstawieniu siły →F=m→g, otrzymujemy: →a=→g. Jak widać ruch jest jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem →g.
Rozwiązania równania ruchu, czyli równanie toru i równanie na prędkość, mają postać:
gdzie →r0 i →v0 są odpowiednio położeniem i prędkością w chwili t=0.
Ruchy, w których występuje niezerowa prędkość początkowa nazywamy rzutami, a w przypadku, gdy prędkość początkowa wynosi zero, mówimy o spadku swobodnym.
Początkowy ruch piłki jest rzutem poziomym, a po odbiciu od ziemi rzutem ukośnym.
Wybieramy kartezjański układ odniesienia o osi y skierowanej pionowo do góry i osi x skierowanej wzdłuż wektora prędkości początkowej, wtedy →g=(0,−g,0), →v=(v0,0,0) i →r0=(0,h,0). Równania toru dla ruchu poziomego w tym układzie współrzędnych mają postać:
- postać parametryczna x=v0t, y=h−gt22
- postać jawna y=h−gx22v20, z=0 (tzn. ruch jest płaski).

Czas t1 i miejsce x1 pierwszego odbicia znajdziemy podstawiając y=0
W zderzeniu sprężystym energia jest zachowana, stąd wartość prędkości nie zmieni się. Podczas odbicia składowa pozioma prędkości nie zmienia się, a pionowa mienia znak na przeciwny, stąd wynika, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Składowe prędkości w punkcie zderzenia wynoszą:
Prędkość piłki po sprężystym odbiciu wynosi →v=[20,14]ms
Równania toru rzutu ukośnego mają postać:
- postać parametryczna x=x1+v0t, y=vy1t−gt22
- postać jawna y=vy1(x−x1)v0−g(x−x1)22v20, z=0.
Miejsce drugiego upadku znajdujemy rozwiązując równanie kwadratowe dla y=0
0=2v0vy1(x2−x1)−g(x2−x1)2 2v0vy1=g(x2−x1) 2v0vy1g=x2−x1 x2=x1+v02ggt1 x2=x1+2v0√2hg
Odległość między odbiciami wynosi Δx=x2−x1=2x1≈57,14m
Sposób II - zasada zachowania energii
Ponieważ siła mg jest zachowawcza, możemy korzystać z zasady zachowania energii mechanicznej.
W rozważanym ruchu zasadę zachowania energii przyjmuje postać:
v2y1=2gh
Prędkość po odbiciu wynosi
Po odbiciu piłka wzniesie się na początkową wysokość, tam pionowa składowa prędkości zeruje się i piłka z poziomą prędkością v0 zacznie rzut poziomy taki sam, jak na początku.
Z równania na składową prędkości w ruchu do góry 0=vy1−gtw wyliczamy czas wznoszenia tw:
Zauważamy, że czas wznoszenia jest równy czasowi spadania, zatem czas lotu od pierwszego odbicia do drugiego wynosi 2t1. W tym czasie, w poziomie, piłka przebędzie drogę:
Odpowiedź
Prędkość piłki po sprężystym odbiciu wynosi →v=(20,14)ms. Odległość między odbiciami ma wartość Δx≈57,14m.