Processing math: 100%
Zadanie 2.3.1.6
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.3.1.6

Rzut poziomy i ukośny
Z wysokości 10m rzucono poziomo piłkę z prędkością 20ms. Wyznacz prędkość piłki po sprężystym odbiciu od poziomego podłoża oraz odległość między pierwszym a drugim miejscem uderzenia o nie. Przyspieszenie ziemskie wynosi g=9,81ms2.

Autor zadania: prof. inż. Jacek Własak

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - rzut poziomy
Współrzędne rzuconego poziomu ciała w pewnej chwili t:
x=v0ty=h12gt2
Składowe wektora prędkości v w pewnej chwili t:
vx=v0vy=gt
Zasięg rzutu:
OA=v02hg
Czas trwania rzutu:
tOA=2hg
 Teoria - rzut ukośny
Rzut ukośny jest przykładem ruchu płaskiego. Jest to ruch o stałym przyspierzeniu g i dowolnie skierowanej prędkości początkowej v0.

Wartości składowe prędkości v w dowolnej chwili t:
vx=v0cosαvy=v0sinαgt

Współrzędne ciała w dowolnej chwili t:
x=v0tcosαy=v0tsinα12gt2

Maksymalna wysokość rzutu:
h=v20sin2α2g

Czas potrzebny na osiągniecie wysokości maksymalnej h:
t=v0sinαg

Zasięg rzutu:
0A=v20sin2αg

Czas rzutu:
t0A=2v0sinαg

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wysokość, z której rzucono piłkę h=10m,
- prędkość początkowa v0=20ms,
- przyspieszenie ziemskie g=9,81ms2.

Szukane:
- prędkość po sprężystym odbiciu od poziomego podłoża v,
- odległość między pierwszym a drugim miejscem uderzenia od podłoża Δx.

Analiza sytuacji

Ciało oddziałuje z Ziemią grawitacyjnie. W pobliżu Ziemi siła grawitacyjna w dobrym przybliżeniu jest stała i wyrażamy ją wzorem F=mg, nazywając natężenie pola natężenie pola grawitacyjnego Ziemi g przyspieszeniem ziemskim. W pobliżu Ziemi działa także siła oporu powietrza, ale ją pomijamy.

Sposób I - równania ruchu

Masa ciała jest stała, więc równanie ruchu uzyskujemy z drugiej zasady dynamiki w postaci:

a=Fm

Po wstawieniu siły F=mg, otrzymujemy: a=g. Jak widać ruch jest jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem g.
Rozwiązania równania ruchu, czyli równanie toru i równanie na prędkość, mają postać:

r=r0+v0t+12gt2
v=v0+gt

gdzie r0 i v0 są odpowiednio położeniem i prędkością w chwili t=0.

Ruchy, w których występuje niezerowa prędkość początkowa nazywamy rzutami, a w przypadku, gdy prędkość początkowa wynosi zero, mówimy o spadku swobodnym.

Początkowy ruch piłki jest rzutem poziomym, a po odbiciu od ziemi rzutem ukośnym.

Wybieramy kartezjański układ odniesienia o osi y skierowanej pionowo do góry i osi x skierowanej wzdłuż wektora prędkości początkowej, wtedy g=(0,g,0), v=(v0,0,0) i r0=(0,h,0). Równania toru dla ruchu poziomego w tym układzie współrzędnych mają postać:
- postać parametryczna x=v0t,    y=hgt22
- postać jawna y=hgx22v20, z=0 (tzn. ruch jest płaski).

Rysunek


Czas t1 i miejsce x1 pierwszego odbicia znajdziemy podstawiając y=0

0=hgt212
t1=2hg
t1=2109,811,43s

x1=v02hg
x1=202109,8128,57m

W zderzeniu sprężystym energia jest zachowana, stąd wartość prędkości nie zmieni się. Podczas odbicia składowa pozioma prędkości nie zmienia się, a pionowa mienia znak na przeciwny, stąd wynika, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Składowe prędkości w punkcie zderzenia wynoszą:

vx=v0=20ms
vyd=gt1=2gh14ms

Prędkość piłki po sprężystym odbiciu wynosi v=[20,14]ms

Równania toru rzutu ukośnego mają postać:

- postać parametryczna x=x1+v0t,    y=vy1tgt22
- postać jawna y=vy1(xx1)v0g(xx1)22v20, z=0.

Miejsce drugiego upadku znajdujemy rozwiązując równanie kwadratowe dla y=0

0=vy1(x2x1)2v0g(x2x1)22v20

0=2v0vy1(x2x1)g(x2x1)2 2v0vy1=g(x2x1) 2v0vy1g=x2x1 x2=x1+v02ggt1 x2=x1+2v02hg
x2=x1+2x1=3x1

Odległość między odbiciami wynosi Δx=x2x1=2x157,14m

Sposób II - zasada zachowania energii

Ponieważ siła mg jest zachowawcza, możemy korzystać z zasady zachowania energii mechanicznej.
W rozważanym ruchu zasadę zachowania energii przyjmuje postać:

mgh+mv202=m(v2y1+v20)2
mgh=mv2y12
v2y1=2gh

Prędkość po odbiciu wynosi

v=(v0,vy1)=(v0,2gh)
v=(20,14)ms

Po odbiciu piłka wzniesie się na początkową wysokość, tam pionowa składowa prędkości zeruje się i piłka z poziomą prędkością v0 zacznie rzut poziomy taki sam, jak na początku.
Z równania na składową prędkości w ruchu do góry 0=vy1gtw wyliczamy czas wznoszenia tw:

tw=2hg=t1

Zauważamy, że czas wznoszenia jest równy czasowi spadania, zatem czas lotu od pierwszego odbicia do drugiego wynosi 2t1. W tym czasie, w poziomie, piłka przebędzie drogę:

x=v02t157,14m

Odpowiedź

Prędkość piłki po sprężystym odbiciu wynosi v=(20,14)ms. Odległość między odbiciami ma wartość Δx57,14m.