Analiza sytuacji

Ciało oddziałuje z Ziemią grawitacyjnie. W pobliżu Ziemi siła grawitacyjna w dobrym przybliżeniu jest stała i wyrażamy ją wzorem $\vec{F}=m\vec{g}$, nazywając natężenie pola natężenie pola grawitacyjnego Ziemi $g$ przyspieszeniem ziemskim. W pobliżu Ziemi działa także siła oporu powietrza, ale ją pomijamy.

Sposób I - równania ruchu

Masa ciała jest stała, więc równanie ruchu uzyskujemy z drugiej zasady dynamiki w postaci:

Po wstawieniu siły $\vec{F}=m\vec{g}$, otrzymujemy: $\vec{a}=\vec{g}$. Jak widać ruch jest jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem $\vec{g}$.
Rozwiązania równania ruchu, czyli równanie toru i równanie na prędkość, mają postać:


gdzie $\vec{r}_0$ i $\vec{v}_0$ są odpowiednio położeniem i prędkością w chwili $t=0$.

Ruchy, w których występuje niezerowa prędkość początkowa nazywamy rzutami, a w przypadku, gdy prędkość początkowa wynosi zero, mówimy o spadku swobodnym.

Początkowy ruch piłki jest rzutem poziomym, a po odbiciu od ziemi rzutem ukośnym.

Wybieramy kartezjański układ odniesienia o osi $y$ skierowanej pionowo do góry i osi $x$ skierowanej wzdłuż wektora prędkości początkowej, wtedy $\vec{g}=(0,-g,0)$, $\vec{v}=(v_0,0,0)$ i $\vec{r_0}=(0,h,0)$. Równania toru dla ruchu poziomego w tym układzie współrzędnych mają postać:
- postać parametryczna $x=v_0t$,    $\displaystyle{y=h-\frac{gt^2}{2} }$
- postać jawna $\displaystyle{y=h-\frac{gx^2}{2v_0^2} }$, $z=0$ (tzn. ruch jest płaski).

Czas $t_1$ i miejsce $x_1$ pierwszego odbicia znajdziemy podstawiając $y=0$



W zderzeniu sprężystym energia jest zachowana, stąd wartość prędkości nie zmieni się. Podczas odbicia składowa pozioma prędkości nie zmienia się, a pionowa mienia znak na przeciwny, stąd wynika, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Składowe prędkości w punkcie zderzenia wynoszą:


Prędkość piłki po sprężystym odbiciu wynosi $\displaystyle{\vec{v}=\left [20,14\right ]\,\mathrm{\frac{m}{s}} }$

Równania toru rzutu ukośnego mają postać:

- postać parametryczna $x=x_1+v_0t$,    $\displaystyle{y=v_{y1}t-\frac{gt^2}{2} }$
- postać jawna $\displaystyle{y=\frac{v_{y1}(x-x_1)}{v_0}-\frac{g(x-x_1)^2}{2v_0^2} }$, $z=0$.

Miejsce drugiego upadku znajdujemy rozwiązując równanie kwadratowe dla $y=0$


 Przekształcenia   $$\displaystyle{0=2v_0v_{y1}(x_2-x_1)-g(x_2-x_1)^2 }$$ $$2v_0v_{y1}=g(x_2-x_1)$$ $$\displaystyle{\frac{2v_0v_{y1}}{g}=x_2-x_1}$$ $$\displaystyle{x_2=x_1+v_0\frac{2}{g}gt_1 }$$ $$\displaystyle{x_2=x_1+2v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} }$$  

Odległość między odbiciami wynosi $\Delta x=x_2-x_1=2x_1\approx 57,14\,\mathrm{m}$

Sposób II - zasada zachowania energii

Ponieważ siła $mg$ jest zachowawcza, możemy korzystać z zasady zachowania energii mechanicznej.
W rozważanym ruchu zasadę zachowania energii przyjmuje postać:

Prędkość po odbiciu wynosi


Po odbiciu piłka wzniesie się na początkową wysokość, tam pionowa składowa prędkości zeruje się i piłka z poziomą prędkością $v_0$ zacznie rzut poziomy taki sam, jak na początku.
Z równania na składową prędkości w ruchu do góry $0=v_{y1}-gt_w$ wyliczamy czas wznoszenia $t_w$:


Zauważamy, że czas wznoszenia jest równy czasowi spadania, zatem czas lotu od pierwszego odbicia do drugiego wynosi $2t_1$. W tym czasie, w poziomie, piłka przebędzie drogę: