Analiza sytuacji

Pocisk będzie w trakcie lotu opadał pod wpływem sił grawitacji, czyli ruch będzie odbywał się do przodu i jednocześnie w dół. Jest to przykład ruchu poziomego. W rzucie poziomym ruch ciała można przedstawić jako złożenie ruchu jednostajnego z prędkością \(v_0\), w kierunku poziomym oraz ruchu jednostajnego przyspieszonego, bez prędkości początkowej w kierunku pionowym (spadek swobodny).

Początek toru pocisku umieszczono na pewnej wysokości w osi \(OY\), skąd narysowany jest łuk kończący się na osi \(OX\). Na trasie pocisku zaznaczono poprzez \(A\) i \(B\), punkty przebicia dwóch przegród papierowych.

Ruch wzdłuż osi \(OX\) można opisać ruch równaniem (droga w ruchu jednostajnym): \(x=v_0t\), stąd mamy:


Ruch wzdłuż osi \(OY\) można opisać ruch równaniem (odległość w ruchu jednostajnie przyspieszonym) \(\displaystyle{y=h-\frac{1}{2}gt^2}\), stąd mamy:

Obliczenia

Prędkość \(v_0\) jest wartością stałą, co oznacza, że \(\displaystyle{v_0=\frac{x_1}{t_1}=\frac{x_2}{t_2}}\) również \(\displaystyle{v_0=\frac{x_1+x_2}{t_1+t_2}}\) stąd mamy:



Wyprowadzenie jednostek:
Z treści zadania wiemy, że pocisk został wystrzelony w jedną stronę – na rysunku przyjęto kierunek „w prawo”, więc nie interesuje nas przypadek lotu w lewo (wartość ujemna prędkości).

Analiza sytuacji

Pocisk będzie w trakcie lotu opadał pod wpływem sił grawitacji, czyli ruch będzie odbywał się do przodu i jednocześnie w dół. Jest to przykład ruchu poziomego. W rzucie poziomym ruch ciała można przedstawić jako złożenie ruchu jednostajnego z prędkością \(v_0\) w kierunku poziomym oraz ruchu jednostajnego przyspieszonego bez prędkości początkowej w kierunku pionowym (spadek swobodny).

Początek toru pocisku umieszczony został na pewnej wysokości w osi \(OY\), skąd narysowany jet łuk kończący się na osi \(OX\). Na trasie pocisku zaznaczono dwie przegrody papierowe poprzez punkt \(A\) oraz punkt \(B\), oddalone od początku układu współrzędnych w odległościach odpowiednio \(x_1\) i \(x_2\). Zaznaczono także wysokość \(h\) pomiędzy punktami przebicia obu kartek.

Z treści zadania wynika, że na podstawie dosyć dobrze opisanego toru pocisku, mamy określić jego prędkość początkową \(v_0\). Oba te elementy – tor oraz prędkość - łączą ze sobą równania ruchu. Musimy więc określić, jakiego typu ruchy wykonuje pocisk i podstawić wynikające z nich równania. Ruch odbywa się pod wpływem sił, dlatego zaczniemy od przyjrzenia się siłom działającym na pocisk:

• wystrzał z pistoletu powoduje przyłożenie do pocisku pewnej, nieznanej nam siły skierowanej poziomo. Siła ta nadaje mu prędkość początkową \(v_0\), ale znika po opuszczeniu przez pocisk lufy pistoletu,
• w trakcie lotu pocisku działa na niego siła grawitacji. Jej oddziaływanie powoduje opadanie pocisku, czyli pojawienie się prędkości skierowanej poziomo w dół. Zaraz po wystrzale ma ona wartość \(0\), ale nieustanny nacisk siły grawitacji cały powoduje jej przyrost,
• zgodnie z założeniami na pocisk nie działa siła oporu powietrza,
• podczas przechodzenia przez przegrody pocisk nie traci energii (zgodnie z założeniami), czyli żadna siła nie zmniejsza jego prędkości w tym momencie.

Pocisk porusza się po paraboli na skutek złożenia dwóch ruchów: ruchu jednostajnego i ruchu jednostajnie przyspieszonego. Wzory na drogę dla tych ruchów to: \(s=vt\) dla ruchu w poziomie i \(\displaystyle{s=\frac{at^2}{2}}\) dla ruchu w pionie. Dopasowując oba wzory do zmiennych używanych w zadaniu możemy uzyskać równania dla obu punktów, w których tor pocisku przebija papierowe przegrody. Zakładając, że \(t_1\) oznacza moment przejścia pocisku przez pierwszą przegrodę, a czas \(t_2\) przez drugą otrzymujemy cztery równania:
\[ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x_1=v_0t_1 \\ h_1=\frac{gt_1^2}{2} \end{matrix}\right.& \mathrm{oraz} & \left\{\begin{matrix} x_2=v_0t_2 \\ h_2=\frac{gt_2^2}{2} \end{matrix}\right. \end{matrix} \]
Z powyższych wzorów znane są tylko wartości \(x_1\) oraz \(x_2\). Znacznie więcej jest wartości nieznanych: \(h_1, h_2, t_1, t_2\). Wprowadzone przez wzory nowe oznaczenia umieszczamy na rysunku. Dzięki wynikającej ze szkicu zależności \(h=h_2-h_1\) możemy pozbyć się nieznanych zmiennych \(h_1\) i \(h_2\) łącząc oba równania:
\[ h=\frac{gt_2^2}{2}-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2} \] Dzięki temu pozbywamy się dwóch nieznanych zmiennych \(h_1\) i \(h_2\).

Ostatecznie uzyskujemy następujący układ równań:

\[ \left\{\begin{matrix} \eqalign{ x_1 &= v_0t_1 \\ x_2 &= v_0t_2 \\ h&=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2} } \end{matrix}\right. \]

Uzyskany układ równań pozwala już na rozwiązanie zadania, gdyż przy trzech równaniach mamy w nim trzy niewiadome

Obliczenia

\[ \left\{\begin{matrix} \eqalign{ x_1 &= v_0t_1 \\ x_2 &= v_0t_2 \\ h&=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2} } \end{matrix}\right. \]
Wykorzystując przekształcenia: \[ \eqalign{ x_1 &= v_0t_1 \Rightarrow t_1=\frac{x_1}{v_0} \\ x_2 &= v_0t_2 \Rightarrow t_2=\frac{x_2}{v_0} } \]
we wzorze na wysokość \(h\) obliczamy:
\[\displaystyle{h=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2}}\]  Przekształcenia  \[ \eqalign{h &= \frac{g\left( \left (\frac{x_2}{v_0} \right )^2 - \left (\frac{x_1}{v_0} \right )^2\right )}{2} \\ h &= \frac{g\left ( \frac{x_2^2}{v_0^2} - \frac{x_1^2}{v_0^2} \right )}{2} \\ \frac{2h}{g} &= \frac{x_2^2}{v_0^2}-\frac{x_1^2}{v_0^2} \\ \frac{2h}{g} &= \frac{1}{v_0^2} \left (x_2^2-x_1^2 \right ) \\ v_0^2\frac{2h}{g} &= x_2^2-x_1^2 \\ v_0^2 &= \frac{g}{2h}\left (x_2^2-x_1^2 \right ) \\ v_0 &= \sqrt{\frac{g}{2h}\left (x_2^2-x_1^2 \right )} } \]  
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
\[\displaystyle{v_0=\sqrt{\frac{g}{2h}\left (x_2^2-x_1^2 \right )}\approx 223,6 \mathrm{\frac{m}{s}}}\]  Obliczenia  \[\eqalign{ v_0=&\sqrt{\frac{10}{2\cdot0,05}\left (30^2-20^2 \right )\begin{bmatrix} \mathrm{\frac{\frac{\cancel{m}}{s^2}}{\cancel{m}} \left( m^2-m^2\right)}\end{bmatrix}}= \\& =\sqrt{100\cdot500\begin{bmatrix} \mathrm{\frac{1}{s^2}\cdot m^2} \end{bmatrix}}= \\& =\sqrt{50000\begin{bmatrix} \mathrm{\frac{m^2}{s^2}} \end{bmatrix}}\approx \\& \approx 223,6 \mathrm{\frac{m}{s}} }\]