Zadanie 2.3.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.3. Składanie ruchów - rzuty
  4. 2.3.2 Trening
  5. Zadanie 2.3.2.1
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.3.2.1

Rzut pionowy w dół i w górę
Z powierzchni Ziemi rzucono piłkę pionowo do góry z prędkością \(\displaystyle{v_0=5\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Równocześnie z wysokości, na jaką wzniesie się wyrzucona do góry piłka, zaczyna spadać druga piłka, rzucona z taką sama prędkością początkową w dół. Oblicz czas oraz wysokość, na której piłki spotkają się. Na jaką wysokość wzniesie się ciało rzucone do góry? Opór powietrza pomijamy.

 Wskazówka teoretyczna

Teoria - rzut pionowy
Położenie ciała wyrzuconego pionowo do góry, z powierzchni Ziemi, z prędkością początkową \(v_0\) w pewnej, dowolnej chwili czasu \(t\):
  • rzut w górę \(\displaystyle{y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)
  • rzut w dół \(\displaystyle{y=h-v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)
Współrzędne prędkości ciała w dowolnej chwili czasu \(t\):
  • rzut w górę \(v_y=v_0-gt\)
  • rzut w dół \(v_y=-v_0-gt\)
Maksymalna wysokość rzutu:
\(\displaystyle{H=\frac{v_0^2}{2g}}\)

Czas potrzebny do osiągnięcia maksymalnej wysokości:
\(\displaystyle{t=\frac{v_0}{g}}\)

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- prędkość z jaką wyrzucono piłkę do góry: \(\displaystyle{v_0=5\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość z jaką drugą piłkę rzucono w dół: \(\displaystyle{v_0=5\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- wartość przyspieszenia ziemskiego \(\displaystyle{10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Szukane:
- czas w którym obie piłki spotkały się \(t\),
- wysokość na jakiej spotkały się obie piłki \(h\),
- prędkości obu piłek w momencie spotkania \(v_1\) oraz \(v_2\).

Odpowiedź

Piłki spotkają się na wysokości \(0,55\,\mathrm{m}\) w \(0,125\) sekundzie ruchu. Maksymalna wysokość , na która wzniesie sie piłka wyrzucona do góry wynosi \(1,25\,\mathrm{m}\).

Polecenie

Na jaką wysokość wzniesie się ciało rzucone do góry? Wybierz jedną prawidłową wartość spośród czterech.

Wybór 1 z 4

\(H=12,5\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(H=10\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(H=2,5\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(H=1,25\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Maksymalna wysokość rzutu można obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{H=\frac{v_0^2}{2g}}\)

\(\displaystyle{H=\frac{5^2}{2\cdot10}=1,25}\)

Wyprowadzenie jednostek:  \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{(\frac{m}{s})^2}{\frac{m}{s^2}} =\frac{m^2}{s^2}\frac{s^2}{m}=m\right ]}}\)
\(\displaystyle{H=1,25\,\mathrm{m}}\)

Polecenie

Wybierz jeden z dwóch zestawów wzorów opisujących ruch pierwszej i drugiej piłki.

Wybór 1 z 2

Pierwsza piłka
\(\displaystyle{S_1=v_0t+\frac{1}{2}gt^2}\)
\(v_1=v_0+gt\)
\(\displaystyle{H=\frac{v_0^2}{2g}}\)

Druga piłka
\(\displaystyle{S_2=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)
\(v_2=v_0-gt\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

Pierwsza piłka
\(\displaystyle{S_1=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)
\(v_1=v_0-gt\)
\(\displaystyle{H=\frac{v_0^2}{2g}}\)

Druga piłka
\(\displaystyle{S_2=v_0t+\frac{1}{2}gt^2}\)
\(v_2=v_0+gt\)

Odpowiedź prawidłowa

Wyjaśnienie

Pierwsza piłka rzucana jest do góry z prędkością początkową skierowaną przeciwnie do wektora przyspieszenia ziemskiego \(\vec{g}\). We wzorze na drogę \(\displaystyle{S_1=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\), człon \(v_0t\) jest dodatni, natomiast człon \(\displaystyle{\frac{1}{2}gt^2}\) jest ujemny. To samo obserwujemy we wzorach na prędkość \(v_1=v_0-gt\).

W przypadku drugiej piłki, wektor prędkości \(\vec{v_0}\) początkowej ma taki sam zwrot, jak wektor przyspieszenia ziemskiego \(\vec{g}\). Obydwa człony równań opisujących położenie i prędkość są dodatnie.

Polecenie

Wskaż, wśród czterech, jeden czas, w którym obie piłki spotkają się.

Wybór 1 z 4

\(t=0,125\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(t=1,25\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(t=2,5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(t=5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Piłka rzucona z Ziemi przebędzie do spotkania drogę \(S_1\), zaś piłka spadająca przebędzie drogę \(S_2\). Suma \(S_1+S_2\) jest równa maksymalnej wysokości, jaką osiągnie piłka pierwsza, czyli \(\displaystyle{H=\frac{v_0^2}{2g}}\)

\(\displaystyle{S_1+S_2=H}\)
\(\displaystyle{v_0t-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+\frac{1}{2}gt^2=\frac{v_0^2}{2g}}\)
\(\displaystyle{v_0t+v_0t=\frac{v_0^2}{2g}}\)
\(\displaystyle{2v_0t=\frac{v_0^2}{2g}}\) obie strony równania należy podzielić przez \(2v_0\)
\(\displaystyle{t=\frac{v_0}{4g}}\)
\(\displaystyle{t=\frac{5}{4\cdot 10}}\)  \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{\frac{m}{s}}{\frac{m}{s^2}} =\frac{m}{s}\frac{s^2}{m}=s\right ]}}\)
\(\displaystyle{t=0,125\,\mathrm{s}}\)

Polecenie

Na jakiej wysokości piłki spotkają się? Oblicz wartość i wybierz jedną odpowiedź wśród czterech.

Wybór 1 z 4

\(S_1 \approx 0,25\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(S_1 \approx 0,55\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(S_1\approx 1,25\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(S_1\approx 1,5\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Piłki spotkają się na wysokości równej drodze przebytej przez pierwszą piłkę \(S_1\).

\(\displaystyle{S_1=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)

\(\displaystyle{S_1=v_0\frac{v_0}{4g}-\frac{1}{2}g\left (\frac{v_0}{4g}  \right )^2=\frac{8v_0^2}{32g}-\frac{v_0^2}{32g}=\frac{7v_0}{32g}}\)

\(\displaystyle{S_1=\frac{7\cdot 5^2}{32\cdot 10}\approx 0,547}\)  \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{(\frac{m}{s})^2}{\frac{m}{s^2}} =\frac{m^2}{s^2}\frac{s^2}{m}=m\right ]}}\)
\(\displaystyle{S_1\approx 0,55\,\mathrm{m}}\)

Odpowiedź

Piłki spotkają się na wysokości \(0,55\,\mathrm{m}\) w \(0,125\) sekundzie ruchu. Maksymalna wysokość, na którą wzniesie się piłka wyrzucona do góry, wynosi \(1,25\,\mathrm{m}\).