Zadanie 2.4.1.5

DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

Zadanie 2.4.1.5

Analiza ruchu krzywoliniowego

Ruch cząsteczki opisuje wektor wodzący

$\displaystyle{\vec{r}=9\cos \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{i}+9\sin \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{j}}\,\mathrm{\left [m\right ]}$ . Zbadaj ruch tej cząstki.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - ruch po okręgu

Przyspieszenie w ruchu po okręgu:

$\vec{a}=\vec{a}_s+\vec{a}_d$

$\displaystyle{\varepsilon=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}}$

$\displaystyle{a_s=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=\varepsilon R}$

$\displaystyle{a_d=\omega ^2 R=\frac{v^2}{R}}$

$\displaystyle{\operatorname{tg}{\alpha}={\frac{a_d}{a_s}}}$

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wektor wodzący cząstki $\displaystyle{\vec{r}=9\cos \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{i}+9\sin \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{j}}$

Szukane:
- parametry opisujące ruch cząstki: prędkość, przyspieszenia, tor ruchu, prędkość kątowa, okres.

Rozwiazanie

Najprościej jest wyznaczyć wektor prędkości punktu. Wektor wodzący wynosi:

$\displaystyle{\vec{r}=9\cos \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{i}+9\sin \left ( \frac{\pi }{3}t \right )\hat{j}}$
Wektor prędkości wyznaczamy następująco:

$\displaystyle{\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r} }{\mathrm{d} t}=-9\cdot \frac{\pi}{3}\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}+9\cdot \frac{\pi}{3}\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$

$\displaystyle{\vec{v}=-3\pi\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}+3\pi\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$

$\left (\sin(x)\right )' =\cos(x)$

$\left (\cos(x) \right )' =-\sin(x)$

$\left (f\left (g(x)\right )\right )' =f'\left (g(x)\right )\cdot g'(x)$

Wartość prędkości wynosi:

$\displaystyle{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\left (-9\cdot \frac{\pi}{3}\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\right )^2+\left (9\cdot \frac{\pi}{3}\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right ) \right )^2}=3\pi}\,\mathrm{\frac{m}{s}}$

$\displaystyle{v=\sqrt{(-3\pi)^2 \sin^2 \left ( \frac{\pi}{3}t\right ) +(3\pi)^2 \cos^2 \left ( \frac{\pi}{3}t \right )}}$

$\displaystyle{v=3\pi\sqrt{ \sin^2 \left (\frac{\pi}{3}t\right ) +\cos^2 \left (\frac{\pi}{3}t \right )}=3\pi\sqrt{1}=3\pi}$

Prędkość cząstki wynosi

$v=3\pi\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ . Jest to wartość stała. Kierunek prędkości wyznacza wektor jednostkowy:

$\displaystyle{\vec{n_v}=-\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}+\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$

Przyspieszenie punktu obliczamy z zależności:

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d}t} =-3\pi\frac{\pi}{3}\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}-3\pi\frac{\pi}{3}\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$

$\displaystyle{\vec{a}=-\pi^2\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}-\pi^2\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$

Wartość przyspieszenia wynosi:

$\displaystyle{a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{\left (-\pi^2\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\right )^2+\left (-\pi^2 \sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right ) \right )^2}=\pi^2}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$

Przyspieszenie oraz prędkości są stałe (nie zależą od czasu). Wektory prędkości oraz przyspieszenia zmieniają kierunek w czasie ruchu - w ich zapisie występuje zmienna

$t$ . Cechy te wskazują na ruch po okręgu. W ruchu po okręgu składowa styczna przyspieszenia ma wartość zero, zaś składowa normalna

$a_d$ jest niezerowa:

$\displaystyle{a_s=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} \,3\pi}{\mathrm{d}t}=0}$ oraz

$\displaystyle{a_d=\sqrt{a^2-a_s^2}=\sqrt{\pi^4-0}=\pi^2}\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$

Przyspieszenie dośrodkowe można zapisać również następująco:

$\displaystyle{a_d=\frac{v^2}{R}=\pi^2}$

$\displaystyle{R=\frac{v^2}{a_d}=\frac{9\pi^2}{\pi^2}=9\,\mathrm{m}}$

Promień krzywizny toru ruchu określa zależność

$\displaystyle{R=\frac{v^2}{a_d}}$ . Wartość promienia jest stała

$R=9\,\mathrm{m}$ oraz nie posiada składowej zetowej. Cechy te wskazują na ruch jednostajny po okręgu.

Prędkość kątową można wyznaczyć z zależności:

$\displaystyle{\omega=\frac{v}{R}=\frac{3\pi}{9}=\frac{\pi}{3}\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}$

Okres w ruchu po okręgu obliczamy następująco:

$\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=2\pi\frac{3}{\pi}=6\,\mathrm{s}}$

Odpowiedź

Wektor prędkości wynosi: $\displaystyle{\vec{v}=-3\pi\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}+3\pi\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$ , zaś jej wartość wynosi: $\displaystyle{v=3\pi\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .
Wektor przyspieszenia ma następującą postać: $\displaystyle{\vec{a}=-\pi^2\cos\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{i}-\pi^2\sin\left ( \frac{\pi}{3}t \right )\hat{j}}$ , zaś jego wartość wynosi: $\displaystyle{a=\pi^2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ .
Cząstka krąży po okręgu o promieniu krzywizny $R=9\,\mathrm{m}$ , z prędkością kątową wynoszącą $\displaystyle{\omega=\frac{\pi}{3}\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}$ oraz okresem $T=6\,\mathrm{s}$ .

Zadanie 2.4.1.4

2.4.2 Trening

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 2.4.1.5

Wskazówka teoretyczna

Informacja

Dane i szukane

Rozwiazanie

Odpowiedź