Zadanie 2.4.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.4. Ruch krzywoliniowy
  4. 2.4.1 Nauka
  5. Zadanie 2.4.1.4
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.4.1.4

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe
Ciało sztywne obraca się z prędkością kątową \(\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}\,\left [ \displaystyle{\mathrm{\frac{rad}{s}}} \right ]\). Oblicz wartość prędkości kątowej \(\omega\) oraz przyspieszenia kątowego \(\varepsilon\), w chwili \(t=4\,\mathrm{s}\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - ruch po okręgu
Prędkość oraz przyspieszenie kątowe:
 
\(\displaystyle{\varepsilon=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}}\)

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wektor prędkości kątowej \(\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}\),
- chwila czasu, w której należy obliczyć prędkość oraz przyspieszenie kątowe \(t=4\,\mathrm{s}\).

Szukane:
- wartość prędkości kątowej w chwili \(t\): \(\omega(t)\),
- wartość przyspieszenia kątowego w chwili \(t\): \(\varepsilon (t)\).

Rozwiązanie

Wektor prędkości kątowej wyznaczamy, podstawiając wartość czasu do równania: \(\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}\)
Składowe wektora prędkości kątowej w chwili czasu \(t=4\,\mathrm{s}\), wynoszą:

\(\displaystyle{\vec{\omega}=0,1\cdot 4^2\hat{i}+2\cdot 4\hat{j}=1,6\hat{i}+8\hat{j}\,\left [ \mathrm{\frac{rad}{s}} \right ]}\)

Wartość prędkości kątowej wyznaczamy następująco:
\(\omega=\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}=\sqrt{1,6^2+8^2}\approx8,16\)
\(\displaystyle{\omega\approx8,16\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}\)

Podobnie postępujemy podczas wyznaczania wektora przyspieszenia kątowego z tą różnica, że najpierw należy obliczyć składowe wektora \(\vec{\varepsilon} \).
\(\displaystyle{\vec{\varepsilon}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=0,1\cdot 2t\,\hat{i}+2\,\hat{j}=0,2t\,\hat{i}+2\,\hat{j}}\)

Składowe wektora przyspieszenia kątowego w chwili czasu \(t=4\,\mathrm{s}\), wyznaczamy następująco:

\(\displaystyle{\vec{\varepsilon}=0,2\cdot 4\,\hat{i}+2\,\hat{j}=0,8\,\hat{i}+2\,\hat{j}\,\left [ \mathrm{\frac{rad}{s^2}} \right ]}\)

Wartość przyspieszenia kątowego wyznaczamy następująco:

\(\varepsilon=\sqrt{\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2}=\sqrt{0,8^2+2^2}\approx2,15\)
\(\displaystyle{\varepsilon\approx2,15\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Wartość prędkości kątowej wynosi \(\displaystyle{\omega\approx8,16\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}\), natomiast wartość przyspieszenia kątowego wynosi \(\displaystyle{\varepsilon\approx2,15\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}\).