Zadanie 2.4.1.4

DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

Zadanie 2.4.1.4

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe

Ciało sztywne obraca się z prędkością kątową

$\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}\,\left [ \displaystyle{\mathrm{\frac{rad}{s}}} \right ]$ . Oblicz wartość prędkości kątowej

$\omega$ oraz przyspieszenia kątowego

$\varepsilon$ , w chwili

$t=4\,\mathrm{s}$ .

Wskazówka teoretyczna

Teoria - ruch po okręgu

Prędkość oraz przyspieszenie kątowe:

$\displaystyle{\varepsilon=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}}$

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wektor prędkości kątowej $\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}$ ,
- chwila czasu, w której należy obliczyć prędkość oraz przyspieszenie kątowe $t=4\,\mathrm{s}$ .

Szukane:
- wartość prędkości kątowej w chwili $t$ : $\omega(t)$ ,
- wartość przyspieszenia kątowego w chwili $t$ : $\varepsilon (t)$ .

Rozwiązanie

Wektor prędkości kątowej wyznaczamy, podstawiając wartość czasu do równania: $\vec{\omega}=0,1\cdot t^2\hat{i}+2\cdot t\hat{j}$
Składowe wektora prędkości kątowej w chwili czasu $t=4\,\mathrm{s}$ , wynoszą:

$\displaystyle{\vec{\omega}=0,1\cdot 4^2\hat{i}+2\cdot 4\hat{j}=1,6\hat{i}+8\hat{j}\,\left [ \mathrm{\frac{rad}{s}} \right ]}$

Wartość prędkości kątowej wyznaczamy następująco:

$\omega=\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}=\sqrt{1,6^2+8^2}\approx8,16$

$\displaystyle{\omega\approx8,16\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}$

Podobnie postępujemy podczas wyznaczania wektora przyspieszenia kątowego z tą różnica, że najpierw należy obliczyć składowe wektora

$\vec{\varepsilon}$ .

$\displaystyle{\vec{\varepsilon}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=0,1\cdot 2t\,\hat{i}+2\,\hat{j}=0,2t\,\hat{i}+2\,\hat{j}}$

Składowe wektora przyspieszenia kątowego w chwili czasu

$t=4\,\mathrm{s}$ , wyznaczamy następująco:

$\displaystyle{\vec{\varepsilon}=0,2\cdot 4\,\hat{i}+2\,\hat{j}=0,8\,\hat{i}+2\,\hat{j}\,\left [ \mathrm{\frac{rad}{s^2}} \right ]}$

Wartość przyspieszenia kątowego wyznaczamy następująco:

$\varepsilon=\sqrt{\varepsilon_x^2+\varepsilon_y^2}=\sqrt{0,8^2+2^2}\approx2,15$

$\displaystyle{\varepsilon\approx2,15\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}$

Odpowiedź

Wartość prędkości kątowej wynosi $\displaystyle{\omega\approx8,16\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}$ , natomiast wartość przyspieszenia kątowego wynosi $\displaystyle{\varepsilon\approx2,15\,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}$ .

Zadanie 2.4.1.3

Zadanie 2.4.1.5

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 2.4.1.4

Wskazówka teoretyczna

Informacja

Dane i szukane

Rozwiązanie

Odpowiedź