Zadanie 2.4.2.1
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.4. Ruch krzywoliniowy
  4. 2.4.2 Trening
  5. Zadanie 2.4.2.1

 Zadanie 2.4.2.1

Przyspieszenie podczas hamowania na zakręcie
Na zakręcie szynobus jedzie ruchem jednostajnie opóźnionym. Zakręt torów ma promień \(400\,\mathrm{m}\), a długość krzywoliniowego odcinka wynosi \(500\,\mathrm{m}\). Oblicz przyspieszenie dowolnego punktu szynobusu na początku oraz na końcu krzywoliniowego odcinka torów. W jakim czasie szynobus przejedzie ten odcinek trasy? Prędkość pojazdu na początku krzywoliniowego odcinka wynosiła \(\displaystyle{v_1=57,6\,\mathrm{\frac{km}{h}}}\), zaś na jego końcu szynobus jechał z prędkością \(\displaystyle{v_2=19,8\,\mathrm{\frac{km}{h}}}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- długość krzywoliniowego odcinka trasy: \(S=500\,\mathrm{m}\),
- promień krzywizny torów: \(R=400\,\mathrm{m}\),
- prędkość szynobusu na początku krzywoliniowego odcinka: \(\displaystyle{v_1=57,6\,\mathrm{\frac{km}{h}}=16\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość szynobusu na końcu krzywoliniowego odcinka: \(\displaystyle{v_2=19,8\,\mathrm{\frac{km}{h}}=5,5\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Szukane:
- przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinka \(a_1\),
- przyspieszenie na końcu krzywoliniowego odcinka \(a_2\),
- czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy \(t\).

Odpowiedź

Przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinka wynosi \(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), zaś na końcu \(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy, wynosi \(t=46,5\,\mathrm{s}\).

Polecenie

Wybierz jeden prawidłowy zestaw, wśród dwóch, opisujących ruch dowolnego punktu szynobusu.
 Pamiętaj, że pojazd porusza się po torze krzywoliniowym - przyspieszenie równoległe do wektora prędkości jest przyspieszeniem stycznym. 

Zestaw 1 z 2

\(v_2=v_0+a t\)
\(\displaystyle{S=\frac{1}{2}at^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(v_2=v_1+a_s t\)
\(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}a_st^2}\)

Odpowiedź prawidłowa

Polecenie

Oblicz czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek drogi. Wybierz jedną wartość czasu, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(t=16,5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(t=30\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(t=46,5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(t=60\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z zależności \(v_2=v_1+a_st\) można wyznaczyć \(a_s\):

\(\displaystyle{a_s=\frac{v_2-v_1}{t}}\)
Wyznaczoną wartość podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}a_st^2}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}\frac{v_2-v_1}{t} t^2=\frac{1}{2}t(v_1+v_2)}\)
 \[\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}v_2t-\frac{1}{2}v_1t=\frac{1}{2}v_1t+\frac{1}{2}v_2t=\frac{1}{2}t(v_1+v_2)}\] \[2s=t(v_1+v_2)\] 
\(\displaystyle{t=\frac{2S}{v_1+v_2}}\)
\(\displaystyle{t=\frac{2\cdot 500}{16+5,5}=46,5}\)    \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{m}{\frac{m}{s}}=m\cdot \frac{s}{m}=s \right ]}}\)
\(\displaystyle{t=46,5\,\mathrm{s}}\)

Polecenie

Wyznacz wartości przyspieszenie stycznego oraz dośrodkowego. Wybierz jeden prawidłowy zestaw wyników, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

\(\displaystyle{a_s=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=6\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n2}=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(\displaystyle{a_s=-0,23\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=0,64\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n2}=0,076\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Z zależności \(v_2=v_1+a_st\) można wyznaczyć \(a_s\):

\(\displaystyle{a_s=\frac{v_2-v_1}{t}}\)
\(\displaystyle{a_s=\frac{5,5-16}{46,5}=-0,23}\)    \(\displaystyle{\mathrm{\left [\frac{\frac{m}{s}}{s}=\frac{m}{s}\cdot \frac{1}{s}=\frac{m}{s^2} \right ]}}\)
\(\displaystyle{a_s=-0,23\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
Ujemna wartość przyspieszenia stycznego oznacz, że pojazd hamuje - wektor przyspieszenia stycznego ma przeciwny zwrot do wektora prędkości liniowej.

Przyspieszenie normalne należy wyznaczyć osobno dla dwóch prędkości, podanych w zadaniu, \(v_1\) oraz \(v_2\).
\(\displaystyle{a_{n1}=\frac{v_1^2}{R}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=\frac{v_2^2}{R}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=\frac{16^2}{400}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=\frac{5,5^2}{400}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=0,64\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=0,076\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Przyspieszenie całkowite obliczamy ze wzoru:
\(a=\sqrt{a_s^2+a_n^2}\)

Wartości przyspieszenia całkowitego będą różne na początku i na końcu zakrzywionej części toru. Obliczamy je następująco:
\(a_1=\sqrt{a_s^2+a_{n1}^2}=\sqrt{(-0,23)^2+(0,64)^2}=0,68\)
\(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(a_2=\sqrt{a_s^2+a_{n2}^2}=\sqrt{(-0,23)^2+(0,076)^2}=0,24\)
\(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinaka wynosi \(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), zaś na końcu \(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Czas w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy wynosi \(t=46,5\,\mathrm{s}\).