Zadanie 2.4.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 2. Kinematyka
  3. 2.4. Ruch krzywoliniowy
  4. 2.4.2 Trening
  5. Zadanie 2.4.2.1
DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r2

 Zadanie 2.4.2.1

Przyspieszenie podczas hamowania na zakręcie
Na zakręcie szynobus jedzie ruchem jednostajnie opóźnionym. Zakręt torów ma promień \(400\,\mathrm{m}\), a długość krzywoliniowego odcinka wynosi \(500\,\mathrm{m}\). Oblicz przyspieszenie dowolnego punktu szynobusu na początku oraz na końcu krzywoliniowego odcinka torów. W jakim czasie szynobus przejedzie ten odcinek trasy? Prędkość pojazdu na początku krzywoliniowego odcinka wynosiła \(\displaystyle{v_1=57,6\,\mathrm{\frac{km}{h}}}\), zaś na jego końcu szynobus jechał z prędkością \(\displaystyle{v_2=19,8\,\mathrm{\frac{km}{h}}}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź, klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- długość krzywoliniowego odcinka trasy: \(S=500\,\mathrm{m}\),
- promień krzywizny torów: \(R=400\,\mathrm{m}\),
- prędkość szynobusu na początku krzywoliniowego odcinka: \(\displaystyle{v_1=57,6\,\mathrm{\frac{km}{h}}=16\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość szynobusu na końcu krzywoliniowego odcinka: \(\displaystyle{v_2=19,8\,\mathrm{\frac{km}{h}}=5,5\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Szukane:
- przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinka \(a_1\),
- przyspieszenie na końcu krzywoliniowego odcinka \(a_2\),
- czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy \(t\).

Odpowiedź

Przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinka wynosi \(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), zaś na końcu \(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy, wynosi \(t=46,5\,\mathrm{s}\).

Polecenie

Wybierz jeden prawidłowy zestaw, wśród dwóch, opisujących ruch dowolnego punktu szynobusu.
 Pamiętaj, że pojazd porusza się po torze krzywoliniowym - przyspieszenie równoległe do wektora prędkości jest przyspieszeniem stycznym. 

Zestaw 1 z 2

\(v_2=v_0+a t\)
\(\displaystyle{S=\frac{1}{2}at^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(v_2=v_1+a_s t\)
\(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}a_st^2}\)

Odpowiedź prawidłowa

Polecenie

Oblicz czas, w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek drogi. Wybierz jedną wartość czasu, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(t=16,5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(t=30\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(t=46,5\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(t=60\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Z zależności \(v_2=v_1+a_st\) można wyznaczyć \(a_s\):

\(\displaystyle{a_s=\frac{v_2-v_1}{t}}\)
Wyznaczoną wartość podstawiamy do wzoru \(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}a_st^2}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}\frac{v_2-v_1}{t} t^2=\frac{1}{2}t(v_1+v_2)}\)
 \[\displaystyle{S=v_1t+\frac{1}{2}v_2t-\frac{1}{2}v_1t=\frac{1}{2}v_1t+\frac{1}{2}v_2t=\frac{1}{2}t(v_1+v_2)}\] \[2s=t(v_1+v_2)\] 
\(\displaystyle{t=\frac{2S}{v_1+v_2}}\)
\(\displaystyle{t=\frac{2\cdot 500}{16+5,5}=46,5}\)    \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{m}{\frac{m}{s}}=m\cdot \frac{s}{m}=s \right ]}}\)
\(\displaystyle{t=46,5\,\mathrm{s}}\)

Polecenie

Wyznacz wartości przyspieszenie stycznego oraz dośrodkowego. Wybierz jeden prawidłowy zestaw wyników, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Zestaw 1 z 2

\(\displaystyle{a_s=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=6\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n2}=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zestaw 2 z 2

\(\displaystyle{a_s=-0,23\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=0,64\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(\displaystyle{a_{n2}=0,076\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Z zależności \(v_2=v_1+a_st\) można wyznaczyć \(a_s\):

\(\displaystyle{a_s=\frac{v_2-v_1}{t}}\)
\(\displaystyle{a_s=\frac{5,5-16}{46,5}=-0,23}\)    \(\displaystyle{\mathrm{\left [\frac{\frac{m}{s}}{s}=\frac{m}{s}\cdot \frac{1}{s}=\frac{m}{s^2} \right ]}}\)
\(\displaystyle{a_s=-0,23\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
Ujemna wartość przyspieszenia stycznego oznacz, że pojazd hamuje - wektor przyspieszenia stycznego ma przeciwny zwrot do wektora prędkości liniowej.

Przyspieszenie normalne należy wyznaczyć osobno dla dwóch prędkości, podanych w zadaniu, \(v_1\) oraz \(v_2\).
\(\displaystyle{a_{n1}=\frac{v_1^2}{R}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=\frac{v_2^2}{R}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=\frac{16^2}{400}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=\frac{5,5^2}{400}}\)
\(\displaystyle{a_{n1}=0,64\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)     oraz   \(\displaystyle{a_{n2}=0,076\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Przyspieszenie całkowite obliczamy ze wzoru:
\(a=\sqrt{a_s^2+a_n^2}\)

Wartości przyspieszenia całkowitego będą różne na początku i na końcu zakrzywionej części toru. Obliczamy je następująco:
\(a_1=\sqrt{a_s^2+a_{n1}^2}=\sqrt{(-0,23)^2+(0,64)^2}=0,68\)
\(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)
\(a_2=\sqrt{a_s^2+a_{n2}^2}=\sqrt{(-0,23)^2+(0,076)^2}=0,24\)
\(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\)

Odpowiedź

Przyspieszenie na początku krzywoliniowego odcinaka wynosi \(\displaystyle{a_1=0,68\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), zaś na końcu \(\displaystyle{a_2=0,24\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\). Czas w jakim szynobus przejedzie krzywoliniowy odcinek trasy wynosi \(t=46,5\,\mathrm{s}\).