Rozwiązanie - krok 1

Analizę sytuacji, przedstawionej w zadaniu, rozpoczynamy od wykonania rysunku.
Pomiędzy dwiema ścianami rysujemy sznurek. Z powodu wiszącego na nim obciążenia, sznur będzie naciągnięty w dół. Informacja o miejscu powieszenia ciężarka, w połowie długości sznura, jest bardzo istotna i znacznie ułatwia rozwiązanie zadania. Oznacza bowiem, że siły działające na obie połówki sznura będą symetryczne, a przez to łatwiejsze do obliczenia. Oczywiście, założenie o symetrii sił‚ działających na lewą i prawą stronę sznura jest prawdziwe tylko wtedy, gdy jest on zawieszony poziomo.
 Dlaczego?  Jeśli sznurek wisiałby nie poziomo, ale pod kątem, to kąty pomiędzy jego lewą i prawą częścią a siłą ciężkości, działającą pionowo w dół, byłyby różne. A ponieważ siły naprężenia działają wzdłuż sznura, to one także znajdowałyby się w różnych położeniach względem siły ciężkości, czyli nie byłyby symetryczne. 

Wprowadzamy oznaczenia do rysunku. Zgodnie z danymi, odległość między dwoma ścianami wynosi \( l \). Skoro ciężarek zawieszony jest w połowie, to na rysunku wprowadzamy oznaczenia \(\displaystyle{ \frac{l}{2} }\). Zawieszenie ciężarka prowadzi do naciągnięcia sznura i powoduje obniżenie jego środka o wysokość \( h \). Skutkuje to pojawieniem się na rysunku nowej zmiennej oznaczonej jako \( \displaystyle{ \frac{l_1}{2}} \). Jest to długość połowy naciągniętego sznura.

Mając gotowy szkic obiektów możemy przystąpić do analizy układu. Na ciężarek działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół i oznaczona jako \( mg \). Jej wartość jest równa masie ciężarka pomnożonej przez siłę przyciągania ziemskiego, a umocowana jest w punkcie zaczepienie ciężarka na sznurze.

Z treści zadania wiemy, że sznur jest nieważki. Oznacza to, że jego masa, a tym samym siły wprowadzane przez niego do układu, są tak niewielkie, iż można je pominąć bez szkody dla poprawności wyniku.

Po naciągnięciu sznura, pojawiają się w nim siły reakcji. Są one rozmieszczone wzdłuż osi sznura, na lewo i prawo od miejsca zawieszenia ciężarka. Oznaczamy je odpowiednio przez \( F_{N1} \) i \( F_{N2} \). Nie znamy ich wartości, a jedynie kierunki i zwroty. Ponadto, dzięki wspomnianemu wcześniej centralnemu zawieszeniu ciężarka, możemy powiedzieć, że są one symetryczne, czyli, co do wartości siły będą one sobie równe. \( \left | F_{N1} \right | = \left | F_{N2} \right | \).

Cały układ jest w stanie równowagi, więc zgodnie z I zasadą dynamiki, suma wektorowa sił działających na ciężarek musi być równa zeru, czyli \[ \sum {F} = 0 \].

Rozwiązanie - krok 2

Zgodnie z  I zasadą dynamiki  W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.  , suma sił działających na układ musi wynosić zero. Graficzne przedstawienie tej zasady pokazane jest na rysunku poniżej. Złożenie wszystkich sił tworzy kontur zamknięty, czyli siły te wzajemnie się redukują.

W celu wykonania obliczeń należy rozłożyć siły działające w układzie na ich składowe leżące wzdłuż osi \(x\) i \(y\).

\[ \sum{F}=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sum{F_X}=0 \\ \sum{F_Y}=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} F_{N1x}-F_{N2x}=0 \\ F_{N1y}+F_{N2y}-mg=0 \end{matrix}\right. \]

Równowaga sił wzdłuż osi \(x\) jest oczywista, gdyż w tym kierunku działają tylko składowe poziome sił naprężenia. Są one jednakowe ze względu na symetrię układu i w związku z tym wzajemnie się znoszą. Można więc pominąć je w obliczeniach. Natomiast wzdłuż osi \(y\) równowaga sił wymaga, aby siła ciężkości była równoważona przez dwie składowe pionowe sił naprężenia. Korzystając z wprowadzonego kąta \(\alpha \) (oznaczającego kąt pomiędzy naciągniętym sznurem a osią poziomą), przekształcamy siły składowe, działające wzdłuż osi \(y\) otrzymując: \[ F_{N1}\sin\alpha+F_{N2}\sin\alpha-mg=0 \]
Po  przekształceniach  Z powodu symetrii układu i równości, co do wartości sił \( F_{N1} \) i \( F_{N2} \), można powiedzieć, że składowe równoległe do osi \(y\) obu sił są identyczne: \[ F_{N1}\sin\alpha = F_{N2}\sin\alpha \] Dzięki temu można je zastąpić jedną niewiadomą \( F_N\sin\alpha \): \[ F_{N1}\sin\alpha + F_{N2}\sin\alpha = 2F_N\sin\alpha \]  
Z powodu symetrii układu i równości co do wartości sił \( F_{N1} \) i \( F_{N2} \) można powiedzieć, że składowe równoległe do osi Y obu sił są identyczne: \[ F_{N1}\sin\alpha = F_{N2}\sin\alpha \] Dzięki temu można je zastąpić jedną niewiadomą \( F_N\sin\alpha \): \[ F_{N1}\sin\alpha + F_{N2}\sin\alpha = 2F_N\sin\alpha \] dostajemy: \[\eqalign{ 2F_N\sin\alpha-mg &= 0 \\ F_N &= \frac{mg}{2\sin\alpha} }\]
Sinus kąta \(\alpha \) obliczamy z trójkąta prostokątnego, zbudowanego przez wysokość ugięcia \(h\), połowę długości sznura przed ugięciem \( \displaystyle{\frac{l}{2}} \) oraz połowę długości sznura po ugięciu \(\displaystyle{\frac{l_1}{2}}\). Po  obliczeniu  Korzystając z wzoru na długość boku w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: \[\eqalign{ h^2 + {\left( \frac{l}{2} \right) }^2 &= {\left( \frac{l_1}{2} \right) }^2 \\ \frac{l_1}{2} &= \sqrt {h^2 + {\left( \frac{l}{2} \right) }^2} }\]  odcinka \(\displaystyle{ \frac{l_1}{2} }\) i podstawieniu wartości możemy zapisać: \[ \sin\alpha = \frac{h}{\frac{l_1}{2}} = \frac{h}{\sqrt {h^2 + {\left( \frac{l}{2} \right) }^2}} = \frac{0,15}{\sqrt {0,15^2 + {\left( \frac{3}{2} \right) }^2}} = 0,0995 \]

Mając obliczony kąt możemy wrócić do obliczania siły: \[ F_N=\frac{mg}{2\sin\alpha} =\frac{0,5\cdot 10}{2 \cdot 0,0995} \begin{bmatrix} \mathrm{kg \cdot \Large{\frac{m}{s^2}}} \end{bmatrix} =25,13\ \mathrm{N} \cong \mathbf {25\ \mathrm{N}} \]