Zadanie 3.1.1.1
Wskazówka teoretyczna
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Zgodnie z I zasadą dynamiki, suma sił działających na układ musi wynosić zero.
II zasada dynamiki
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. →a=∑→Fwm[ms2=Nkg]
III zasada dynamiki
Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą (siłą akcji), to ciało B działa na ciało A siłą (siłą reakcji) o takiej samej wartości i kierunku, lecz przeciwnym zwrocie. →FAB=−→FBA
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa ciężarka m=0,5 kg,
- długość sznura l=3 m,
- ugięcie sznura h=0,15 m.
Szukane:
- siła naprężenia sznura FN.
Rozwiązanie - krok 1
Analizę sytuacji, przedstawionej w zadaniu, rozpoczynamy od wykonania rysunku.
Pomiędzy dwiema ścianami rysujemy sznurek. Z powodu wiszącego na nim obciążenia, sznur będzie naciągnięty w dół. Informacja o miejscu powieszenia ciężarka, w połowie długości sznura, jest bardzo istotna i znacznie ułatwia rozwiązanie zadania. Oznacza bowiem, że siły działające na obie połówki sznura będą symetryczne, a przez to łatwiejsze do obliczenia. Oczywiście, założenie o symetrii sił‚ działających na lewą i prawą stronę sznura jest prawdziwe tylko wtedy, gdy jest on zawieszony poziomo.
Jeśli sznurek wisiałby nie poziomo, ale pod kątem, to kąty pomiędzy jego lewą i prawą częścią a siłą ciężkości, działającą pionowo w dół, byłyby różne. A ponieważ siły naprężenia działają wzdłuż sznura, to one także znajdowałyby się w różnych położeniach względem siły ciężkości, czyli nie byłyby symetryczne.

Wprowadzamy oznaczenia do rysunku. Zgodnie z danymi, odległość między dwoma ścianami wynosi l. Skoro ciężarek zawieszony jest w połowie, to na rysunku wprowadzamy oznaczenia l2. Zawieszenie ciężarka prowadzi do naciągnięcia sznura i powoduje obniżenie jego środka o wysokość h. Skutkuje to pojawieniem się na rysunku nowej zmiennej oznaczonej jako l12. Jest to długość połowy naciągniętego sznura.
Mając gotowy szkic obiektów możemy przystąpić do analizy układu. Na ciężarek działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół i oznaczona jako mg. Jej wartość jest równa masie ciężarka pomnożonej przez siłę przyciągania ziemskiego, a umocowana jest w punkcie zaczepienie ciężarka na sznurze.
Z treści zadania wiemy, że sznur jest nieważki. Oznacza to, że jego masa, a tym samym siły wprowadzane przez niego do układu, są tak niewielkie, iż można je pominąć bez szkody dla poprawności wyniku.

Po naciągnięciu sznura, pojawiają się w nim siły reakcji. Są one rozmieszczone wzdłuż osi sznura, na lewo i prawo od miejsca zawieszenia ciężarka. Oznaczamy je odpowiednio przez FN1 i FN2. Nie znamy ich wartości, a jedynie kierunki i zwroty. Ponadto, dzięki wspomnianemu wcześniej centralnemu zawieszeniu ciężarka, możemy powiedzieć, że są one symetryczne, czyli, co do wartości siły będą one sobie równe. |FN1|=|FN2|.
Cały układ jest w stanie równowagi, więc zgodnie z I zasadą dynamiki, suma wektorowa sił działających na ciężarek musi być równa zeru, czyli ∑F=0.
Rozwiązanie - krok 2
Zgodnie z W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. , suma sił działających na układ musi wynosić zero. Graficzne przedstawienie tej zasady pokazane jest na rysunku poniżej. Złożenie wszystkich sił tworzy kontur zamknięty, czyli siły te wzajemnie się redukują.
W celu wykonania obliczeń należy rozłożyć siły działające w układzie na ich składowe leżące wzdłuż osi x i y.
∑F=0⇒{∑FX=0∑FY=0⇒{FN1x−FN2x=0FN1y+FN2y−mg=0
Równowaga sił wzdłuż osi x jest oczywista, gdyż w tym kierunku działają tylko składowe poziome sił naprężenia. Są one jednakowe ze względu na symetrię układu i w związku z tym wzajemnie się znoszą. Można więc pominąć je w obliczeniach. Natomiast wzdłuż osi y równowaga sił wymaga, aby siła ciężkości była równoważona przez dwie składowe pionowe sił naprężenia. Korzystając z wprowadzonego kąta α (oznaczającego kąt pomiędzy naciągniętym sznurem a osią poziomą), przekształcamy siły składowe, działające wzdłuż osi y otrzymując: FN1sinα+FN2sinα−mg=0
Po Z powodu symetrii układu i równości, co do wartości sił FN1 i FN2, można powiedzieć, że składowe równoległe do osi y obu sił są identyczne: FN1sinα=FN2sinα Dzięki temu można je zastąpić jedną niewiadomą FNsinα: FN1sinα+FN2sinα=2FNsinα dostajemy: 2FNsinα−mg=0FN=mg2sinα
Sinus kąta α obliczamy z trójkąta prostokątnego, zbudowanego przez wysokość ugięcia h, połowę długości sznura przed ugięciem l2 oraz połowę długości sznura po ugięciu l12. Po Korzystając z wzoru na długość boku w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: h2+(l2)2=(l12)2l12=√h2+(l2)2 odcinka l12 i podstawieniu wartości możemy zapisać: sinα=hl12=h√h2+(l2)2=0,15√0,152+(32)2=0,0995
Mając obliczony kąt możemy wrócić do obliczania siły: FN=mg2sinα=0,5⋅102⋅0,0995[kg⋅ms2]=25,13 N≅25 N
Przybliżanie małych kątów
Dla małych kątów istnieje zależność mówiąca o tym, że miara kąta α podana w radianach jest, co do wartości, zbieżna z wartościami sinusa i tangensa tego kąta, czyli: α≈sinα≈tanα Zależność ta jest prawdziwa tylko wtedy, kiedy wartość kąta jest podana w mierze łukowej (czyli w radianach). Wartość kąta w mierze łukowej określa się przez stosunek długości odcinka łuku l zakreślonego przez ten kąt do promienia tegoż łuku r: α=lr Dokładność tego przybliżenia jest różna dla różnych funkcji. Tabela poniżej przedstawia dokładność przybliżenia dla poszczególnych kątów.
Funkcja tangens | Kąt α | Funkcja sinus | |||
błędy przybliżenia | tg(α) | α[∘] | α[rad] | sin(α) | błędy przybliżenia |
0,00 % | 0,000000 | 0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,00 % |
0,01 % | 0,017455 | 1 | 0,017453 | 0,017452 | 0,01 % |
0,04 % | 0,034921 | 2 | 0,034907 | 0,034899 | 0,02 % |
0,09 % | 0,052408 | 3 | 0,052360 | 0,052336 | 0,05 % |
0,16 % | 0,069927 | 4 | 0,069813 | 0,069756 | 0,08 % |
0,25 % | 0,087489 | 5 | 0,087266 | 0,087156 | 0,13 % |
0,37 % | 0,105104 | 6 | 0,104720 | 0,104528 | 0,18 % |
0,50 % | 0,122785 | 7 | 0,122173 | 0,121869 | 0,25 % |
0,65 % | 0,140541 | 8 | 0,139626 | 0,139173 | 0,33 % |
0,82 % | 0,158384 | 9 | 0,157080 | 0,156434 | 0,41 % |
1,02 % | 0,176327 | 10 | 0,174533 | 0,173648 | 0,51 % |
1,23 % | 0,194380 | 11 | 0,191986 | 0,190809 | 0,62 % |
1,47 % | 0,212557 | 12 | 0,209440 | 0,207912 | 0,73% |
1,72 % | 0,230868 | 13 | 0,226893 | 0,224951 | 0,86 % |
2,00 % | 0,249328 | 14 | 0,244346 | 0,241922 | 1,00 % |
Odpowiedź
Na każdą połowę sznura działa siła naprężenia o wartości 25 N.