Zadanie 3.1.1.5
Wskazówka teoretyczna
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Zgodnie z I zasadą dynamiki, suma sił działających na układ musi wynosić zero.
II zasada dynamiki
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała. →a=∑→Fwm[ms2=Nkg]
III zasada dynamiki
Jeśli ciało A działa na ciało B pewną siłą (siłą akcji), to ciało B działa na ciało A siłą (siłą reakcji) o takiej samej wartości i kierunku, lecz przeciwnym zwrocie. →FAB=−→FBA
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa ciała m,
- kąt nachylenia równi α,
- współczynnik tarcia kinetycznego μ,
- przyspieszenie ziemskie g.
Szukane:
- kąt nachylenia sznurka, w stosunku do powierzchni równi, w momencie najmniejszego jego naciągu β.
Analiza sytuacji

Na skrzynię, ciągniętą po rampie, działają następujące siły:
- siła ciężkości →P, skierowana pionowo w dół i o wartości mg,
- siła reakcji →R, skierowana do góry w kierunku prostopadłym do rampy,
- siła wynikająca z tarcia kinetycznego →T, działająca wzdłuż rampy w kierunku przeciwnym do kierunku prędkości,
- siła ciągnąca →F, skierowana pod kątem β do płaszczyzny równi.
Obrócenie układu współrzędnych tak, aby siła →R była równoległa do osi OY, a →T do osi OX powoduje, że nie trzeba ich rozkładać na składowe. Skutkiem tego, nieznane siły nie pojawią się w obu wzorach jednocześnie, co ułatwi rozwiązanie zadania.

Rozwiązanie - krok 1
Z I zasady dynamiki Newtona wiemy, że w celu uzyskania stałej prędkości skrzyni, siły na nią działające muszą być w równowadze. Wobec tego równania równowagi dla układu będą wyglądały następująco: ∑Fx=Fcosβ−Psinα−T=0∑Fy=R+Fsinβ−Pcosα=0 Siła tarcia kinetycznego jest zależna od nacisku skrzyni na powierzchnię rampy i wynosi T=μN, gdzie N oznacza siłę nacisku. Z III zasady dynamiki wiemy, że siła reakcji R jest, co do wartości, równa sile nacisku N, czyli R=N. Można więc zapisać, że T=μR. Uwzględniając ten fakt oraz zależność P=mg w układzie równań uzyskujemy: Fcosβ−mgsinα−μR=0R+Fsinβ−mg cosα=0 W powyższych dwóch równaniach mamy dwie niewiadome (F i R), więc układ równań jest rozwiązywalny.
Przekształcając drugie równanie, uzyskujemy wzór na siłę reakcji: R=mg cosα−Fsinβ
Teraz siłę reakcji podstawiamy do równania pierwszego i otrzymujemy Fcosβ−mgsinα−μ(mgcosα−Fsinβ)=0
Otrzymane równanie przekształćmy w taki sposób, aby otrzymać zależność F(β).
Fcosβ−mgsinα−μmgcosα+μFsinβ=0 F(cosβ+μsinβ)=mgsinα+μmgcosα
Rozwiązanie - krok 2
Wyznaczenie najmniejszego naciągu, wymaga obliczenia pochodnej z funkcji określającej siłę naciągu i przyrównanie jej do zera. W celu ułatwienia liczenia pochodnej, zapiszmy otrzymany wzór w postaci:
Rozwiązanie - krok 3
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie, dla jakiego kąta β, otrzymane równanie, przyjmuje wartość zero.
Pochodna funkcji F(β) przyjmuje wartość zerową dla
Siła ciągnąca będzie miała najmniejszą wartość, gdy μ=tgβ.
Odpowiedź
Siła ciągnąca będzie miała najmniejszą wartość, gdy μ=tgβ.
Informacja
Pod rysunkami znajdują się strzałki. Po wciśnięciu szarego przycisku ze strzałką zobaczysz następne wykresy.
Na wykresie poniżej przedstawiono zależność μ(β)=tgβ (niebieska krzywa) oraz ilustrację graficzną, prezentującą sposób nachylenia sznura.
Na wykresie znajduje się również linia prosta, służąca do przedstawienia krzywizny analizowanej funkcji.






