Analiza sytuacji

Na skrzynię, pchaną do góry po rampie, działają następujące siły:

• siła ciężkości \(\vec{P}\), skierowana pionowo w dół i o wartości \(mg\),
• siła reakcji \(\vec{R}\), skierowana do góry, w kierunku prostopadłym do rampy,
• siła wynikająca z tarcia kinetycznego \(\vec{T}\), działająca wzdłuż rampy w kierunku przeciwnym do wektora prędkości,
• siła pchająca \(\vec{F}\), skierowana poziomo, równolegle do podłoża (nie rampy!).

Rozwiązanie

Z I zasady dynamiki Newtona wiemy, że w celu uzyskania stałej prędkości skrzyni, siły na nią działające muszą być w równowadze. Wobec tego równania równowagi dla układu będą wyglądały następująco: \[ \eqalign{ \sum F_x &= F \cos\alpha - P \sin\alpha - T = 0 \\ \sum F_y &= R - F \sin\alpha - P \cos\alpha = 0 } \] Siła tarcia kinetycznego jest zależna od nacisku skrzyni na powierzchnię rampy i wynosi \(T=\mu N\), gdzie \(N\) oznacza siłę nacisku. Z III zasady dynamiki wiemy, że siła reakcji \(R\) jest, co do wartości, równa sile nacisku \(N\), czyli \(R=N\). Można więc zapisać, że \(T=\mu R\). Uwzględniając ten fakt oraz zależność \(P=mg\) w układzie równań, uzyskujemy: \[ \eqalign{ \sum F_x &= F \cos\alpha - mg\ \sin\alpha - \mu R = 0 \\ \sum F_y &= R - F \sin\alpha - mg\ \cos\alpha = 0 } \] W powyższych dwóch równaniach mamy dwie niewiadome (\(F\) i \(R\)), więc układ równań jest rozwiązywalny.

Przekształcając drugie równanie uzyskujemy wzór na siłę reakcji: \[ R = mg\ \cos\alpha + F \sin\alpha \] który po podstawieniu do pierwszego równania z układu i przekształceniu, pozwala wyznaczyć wzór na siłę pchającą skrzynię.
 Przekształcenia  \[\eqalign{F\cos\alpha-mg\sin\alpha-\mu (mg\cos\alpha+F\sin\alpha) &=0\\F\cos\alpha-\mu F\sin\alpha-mg\sin\alpha-\mu mg \cos\alpha &=0 \\ F (\cos\alpha-\mu \sin\alpha) &=mg (\sin\alpha+\mu \cos\alpha) \\F &= mg \frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\cos\alpha-\mu\sin\alpha}\\F &=mg\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\mu\frac{\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}}}{\frac{\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}}-\mu\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} }\]            
\[F=mg \frac{\operatorname{tg}{\alpha}+\mu}{1-\mu \operatorname{tg}{\alpha}} \]
Podstawiając dane obliczamy wartość siły:  Obliczenia  \[\eqalign{F &=50 \cdot 10 \cdot \frac{\operatorname{tg}{30^{\circ}}+0,2}{1-0,2 \cdot \operatorname{tg}{30^{\circ}}} \begin{bmatrix} \mathrm{kg \frac{m}{s^2}} \end{bmatrix} = \\ &= 500 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+0,2}{1-0,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \begin{bmatrix} \mathrm{N} \end{bmatrix}\approx 439\ \mathrm{N} }\]