Analiza sytuacji - rysunek

Zapisanie układu równań, dla warunków zadania, będzie prostsze, jeśli rozrysujemy siły działające na linę.

Na rysunku, układ współrzędnych został tak dobrany, aby jedna z sił działała wzdłuż osi $OX$. Zabieg ten uprości układ równań, opisujących siły. Na rysunku został zaznaczony dodatkowy kąt $\gamma$. Został on dodany, dla ułatwienia zapisu składowych siły $\vec{F_C}$. Kąt ten można łatwo powiązać z katem $\beta$ za pomocą wzoru $\beta = \gamma + 90^{\circ}$.
Z rysunku można jeszcze odczytać, że:
Na podstawie informacji zawartych w zadaniu, można określić przybliżony kierunek i wartość siły przyłożonej do liny ciągniętej przez Fizaliusza. Skoro węzeł łączący wszystkie trzy liny nie porusza się, to układ musi być w równowadze, czyli siły narysowane na diagramie powinny tworzyć trójkąt.

Analiza sytuacji

Zawarty, w I zasadzie dynamiki Newtona, warunek równowagi dla układu, zapiszemy w postaci wektorowej: $$\vec{F_A} + \vec{F_B} + \vec{F_C} = 0$$ Po rozłożeniu sił na składowe równoległe do osi układu współrzędnych, możemy zapisać układ równań w postaci skalarnej: $$\eqalign{ \sum F_x &= F_A- F_{Bx}-F_{Cx}= 0 \\ \sum F_y &= F_{By}-F_{Cy}= 0 }$$
$$\left\{\begin{matrix}F_A-F_B\sin 30^{\circ}-F_C\sin\gamma &=0\\F_B\cos 30^{\circ}-F_C\cos \gamma &=0\end{matrix}\right.$$

Obliczenia

$$\left\{\begin{matrix}F_A-F_B\sin 30^{\circ}-F_C\sin\gamma &=0\\F_B\cos 30^{\circ}-F_C\cos \gamma &=0\end{matrix}\right.$$
Przekształcając drugie równanie z podanego układu równań, otrzymujemy:
$$F_C = \frac{F_B \cos 30^{\circ}}{\cos \gamma}$$
Podstawiając otrzymaną zależność do pierwszego równania i przekształcając, uzyskujemy:
$$F_A - F_B \sin 30^{\circ} - \frac{F_B \cos 30^{\circ}}{\cos \gamma} \cdot \sin \gamma = 0 \\ F_A - F_B \sin 30^{\circ} = F_B \cos 30^{\circ} \cdot \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} \\ \operatorname{tg}{\gamma} = \frac{F_A - F_B \sin 30^{\circ}}{F_B \cos 30^{\circ}}$$
Wzór ten po podstawieniu danych pozwala obliczyć wartość kąta $\gamma$:
$$\displaystyle{\operatorname{tg}{\gamma}=\frac{400-300 \cdot 0,5}{300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=0,96225 }$$
Wartość kąta wynosi $\gamma=44^{\circ}$
Ostatecznie szukaną wartość kąta $\beta$:
$$\beta = \gamma +90^{\circ} = 44^{\circ} + 90^{\circ} = 134^{\circ}$$
Znając kąt $\gamma$, można powrócić do wzoru na wartość siły $F_C$ wyprowadzonego z układu równań:
$$\displaystyle{ F_C = \frac{F_B \cos 30^{\circ}}{\cos 44} = \frac{300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,71934} \approx 361 \mathrm{N} }$$