Analiza sytuacji

Na ciało o masie \(m\), poruszające się swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, działa siła ciężkości o wartości \(mg\) pionowo w dół. Siłę tę można rozłożyć na składowe: styczną do toru \(F_s\) (mającą kierunek prędkości) oraz prostopadłą do toru. Tę ostatnią nazywamy albo normalną \((F_n)\), albo, tak jak w ruchu po okręgu – siłą dośrodkową \(F_d\). Nazwa, w tym przypadku, związana jest z wyobrażeniem ruchu po dowolnej krzywej, jako „kawałkami” po okręgu o zmieniającym się promieniu (promieniu krzywizny). Siły te związane są poprzez II zasadę dynamiki z odpowiednimi składowymi przyspieszeń – stycznym \(a_s\) i dośrodkowym \(a_d\).

Na powyższym rysunku w układzie współrzędnych \(x\,y\), przy czym oś \(y\) jest skierowana pionowo w dół, przedstawiono, dla pewnej chwili czasu \(t\), prędkość i jej składowe \(v_x\) i \(v_y\) oraz przyspieszenie grawitacyjne \(g\), jego składową styczną \(a_s\) i dośrodkową \(a_d\). Występujące na wykresie wektory przyspieszeń są reprezentowane przez ich wartości bezwzględne, natomiast prędkość przez składowe prędkości. Składowe przyspieszenia wyrażają się wzorami:


natomiast szukane składowe siły ciężkości:
Z powyższych wzorów widać, że, aby wyznaczyć w zadaniu szukane wielkości, musimy najpierw znaleźć zależność wartości prędkości ciała od czasu. Z kinematycznego opisu rzutu poziomego z prędkością początkową \(v_0\) wiemy, że:


a stąd wartość prędkości wynosi:
W celu obliczenia wartość składowej stycznej siły, skorzystamy z przedstawionych powyżej wzorów, otrzymując:  Przekształcenia  \[\eqalign{F_s(t) &=m\frac{\mathrm{d} \left ( v_0^2+g^2 t^2 \right )^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d} t} \\ F_s(t) &=m\,2\,g^2\,t\cdot \frac{1}{2}\left ( v_0^2+g^2 t^2 \right )^{-\frac{1}{2}} \\ F_s(t) &=m \frac{\,g^2\,t}{\left ( v_0^2+g^2 t^2 \right )^{\frac{1}{2}}}}\] 
Wartość siły dośrodkowej dana jest z kolei wzorem:
Niestety, na tym etapie, nie możemy wyznaczyć zależności od czasu wartości siły dośrodkowej, działającej na ciało, gdyż, co prawda mamy wyznaczoną zależność \(v(t)\), ale również promień krzywizny jest funkcją czasu \(R=R(t)\). Dlatego wyznaczymy najpierw dośrodkową składową \(a_d\) przyspieszenia ziemskiego. Długość wektora przyspieszenia ziemskiego można obliczyć z następującej zależności \(g^2=a_d^2+a_s^2\). Po prostych przekształceniach otrzymujemy:

Siłę dośrodkową wyznaczamy następująco:

 Przekształcenia  \[\eqalign{F_d(t) &=m\sqrt{g^2-\left ( \frac{g^2 t}{\sqrt{v_0^2+(gt)^2}} \right )^2} \\ F_d(t) &=m \sqrt{\frac{g^2\left ( v_0^2+g^2t^2 \right )}{v_0^2+(gt)^2}-\frac{g^4t^2}{v_0^2+(gt)^2}} \\ F_d(t) &=m \sqrt{\frac{g^2v_0^2+g^4t^2}{v_0^2+(gt)^2}-\frac{g^4t^2}{v_0^2+(gt)^2}} \\ F_d(t) &=m \sqrt{\frac{g^2v_0^2}{v_0^2+(gt)^2}}}\] 
Mając wyznaczoną siłę \(F_d(t)\), możemy wyznaczyć zależność od czasu promienia krzywizny toru rzutu z zależności:

Rozwiązanie

Do otrzymanych zależności można teraz podstawić wielkości liczbowe.
1. Zależność od czasu wartości siły stycznej działającej na ciało:

 Jednostka  \[\eqalign{\mathrm{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot \frac{\large{\frac{m}{s^2}} \cdot s}{\sqrt{\large{\frac{m^2}{s^2}}+\left ( \frac{m}{s^2}\right )^2\cdot s^2}}= \\ =N\cdot \frac{\large{\frac{m}{s}}}{\sqrt{\large{\frac{m^2}{s^2}}+\frac{m^2}{s^2}}}= \\ =N\cdot \frac{m}{s}\cdot \frac{s}{m}=N} }\] 

2. Zależność od czasu wartości siły dośrodkowej działającej na ciało:
 Jednostka  \[\eqalign{\mathrm{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot \frac{\frac{m}{s}}{\sqrt{\frac{m^2}{s^2}+\left ( \frac{m}{s^2}\right )^2\cdot s^2}}= \\ =N\cdot \frac{\frac{m}{s}}{\sqrt{\frac{m^2}{s^2}+\frac{m^2}{s^2}}}= \\ =N\cdot \frac{m}{s}\cdot \frac{s}{m}=N}}\] 
3. Zależność od czasu promienia krzywizny toru rzutu:  Przekształcenia  \[\eqalign{R(t) &=\frac{\left (v_0^2+(gt)^2 \right )\sqrt{v_0^2+(gt)^2}}{g\,v_0} \\ R(t) &=\frac{\left (10^2+(10\,t)^2 \right )\sqrt{10^2+(10\,t)^2}}{10\cdot 10} \\ R(t) &=\frac{100\left (1+t^2\right )\,10\,\sqrt{1+t^2}}{100} \\ R(t) &=\left (1+t^2 \right )\,10\,\sqrt{1+t^2}}\]