Zadanie 3.3.1.1
Wskazówka teoretyczna
Maksymalna siła tarcia statycznego spełnia warunek:
gdzie \(\mu_s\) jest współczynnikiem tarcia statycznego, a \(N\) siłą reakcji podłoża.
Tarcie kinetyczne (dynamiczne) - występuje, gdy dwie powierzchnie poruszają się względem siebie, ma stałą wartość. Jest to siła styczna do powierzchni dwóch ciał.
Siła tarcia kinetycznego jest to siła styczna do powierzchni dwóch ciał przemieszczających się względem siebie.
gdzie \(\mu_k\) jest współczynnikiem tarcia kinetycznego, a \(N\) siłą reakcji podłoża.
Współczynnik tarcia kinetycznego jest mniejszy od współczynnika tarcia statycznego.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa szafy \(m=50\ \mathrm{kg}\),
- siła działająca na szafę \(F=200\ \mathrm{N}\),
- przyspieszenie szafy \(\displaystyle{a=0,5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).
Szukane:
- współczynnik tarcia kinetycznego między szafą a podłogą \(\mu_K\).
Analiza sytuacji
Zauważmy, że na szafę działa siła ciężkości skierowana pionowo w dół (oznaczmy ją przez \(N\)). Wywoływany przez nią nacisk szafy na podłogę, powoduje powstanie siły reakcji (oznaczonej przez \(R\)), działającej w kierunku przeciwnym do siły nacisku szafy, czyli pionowo w górę. Ponadto na szafę działa przyłożona poziomo siła zewnętrzna \(F\), powodująca ruch szafy. Poruszający się mebel trze o podłogę, generując tym samym siłę tarcia (oznaczoną przez \(T_K\)) skierowaną przeciwnie do kierunku jego ruchu.
Znając siły działające na szafę, możemy przystąpić do zapisu układu równań dla sił działających w układzie. Pierwsze równanie gromadzi siły równoległe do osi \(x\), a drugie do osi \(y\).
\[\left\{\eqalign{ \sum F_x &= F-T_K = ma\\ \sum F_y &= R-N = 0 }\right.\]
Wzór na sumę sił działających w pionie możemy już zostawić, gdyż nie przyda się do dalszych obliczeń. Przekształcamy natomiast wzór na sumę sił działających w poziomie korzystając z podanych poprzednio zależności: \[\eqalign{ F-T_K &= ma\\ F-\mu_K N &= ma\\ F-\mu_K m g &= ma }\]
Po kilku prostych \[\eqalign{ F-\mu_K m g &= ma\\ -\mu_K m g &= ma-F\\ \mu_K m g &= -ma+F\\ \mu_K &= \frac{F-ma}{mg}\\ \mu_K &= \frac{F}{mg}-\frac{\cancel{m}a}{\cancel{m}g} }\] mamy: \[\displaystyle{ \mu_K=\frac{F}{mg}-\frac{a}{g} }\]
Rozwiązanie
Do wyznaczonego wzoru \(\displaystyle{\mu_K = \frac{F}{mg}-\frac{a}{g}}\) wystarczy podstawić wartości liczbowe.
\[\eqalign{ \mu_K &= \frac{F}{mg}-\frac{a}{g} =\\ & = \frac{200}{50 \cdot 10} \begin{bmatrix} \mathrm{ \frac{N}{kg \cdot \frac{m}{s^2}} } \end{bmatrix} -\frac{0,5}{10} \begin{bmatrix} \mathrm{ \frac{\cancel{\frac{m}{s^2}}}{\cancel{\frac{m}{s^2}}} } \end{bmatrix}=\\ & = \frac{200}{500}\mathrm{\begin{bmatrix} \frac{\cancel{N}}{\cancel{N}} \end{bmatrix} } - 0,05\ \mathrm{[-]} =\\& = 0,35\ \mathrm{[-]} }\]
W treści zadania podano, że szafę można poruszyć, działając siłą zewnętrzną \(F\) o wartości \(200\ \mathrm{N}\). Mając tę informację, możemy również obliczyć współczynnik tarcia statycznego oznaczony przez \(\mu_s\). Wykorzystamy w tym celu, zapisane już wcześniej równanie na sumę sił, działających w osi poziomej: \[ \sum{F_x}=F-T_K=ma \]
Współczynnik tarcia statycznego występuje wtedy, gdy przyłożona siła zewnętrzna próbuje przesunąć nieruchomy obiekt. Stąd wniosek, że nasza szafa powinna być nieruchoma. Zgodnie z nim przekształcamy wzór powyżej na: \[ \sum{F_x}=F-T_{s\,max}=0 \]
Korzystając z wzoru na współczynnik tarcia statycznego \(T_{s\,max}=\mu_sN\), po krótkich
\[\eqalign{ F-\mu_S N &= 0\\ F-\mu_S m g &= 0\\ \mu_S m g &= F }\]
, otrzymujemy: \[\eqalign{ \mu_S &= \frac{F}{mg} =\\& = \frac{200}{50 \cdot 10} \begin{bmatrix} \mathrm{ \frac{N}{kg \cdot \frac{m}{s^2} } } \end{bmatrix} =\\& = 0,4 \begin{bmatrix} \mathrm{ \frac{\cancel{N}}{\cancel{N}} } \end{bmatrix} =\\& = 0,4 [-] }\]
Odpowiedź: Wartość współczynnika tarcia statycznego między szafą a podłogą wynosi \(\mu_S=0,4\).
Odpowiedź
Wartość współczynnika tarcia kinetycznego między szafą a podłogą wynosi \(\mu_K=0,35\).