Rozwiązanie

Równanie ruchu wyprowadzane jest z II zasady dynamiki \(F=ma\). Za siłę podstawiamy wartość podaną w treści zadania. Przyspieszenie \(a\) zastępujemy wyrażeniem \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}}\). W ten sposób otrzymujemy:

Rozwiązanie

Wyznaczenie czasu \(t_1\) wymaga rozwiązania równania różniczkowego

w tym celu obie strony mnożymy przez wyrażenie \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}t}{mv^2}}\) i całkujemy

 Całka  \[\displaystyle{\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \,,\mathrm{gdzie}\; n\neq 1}\]  Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy  Jakich?  
W celu wyznaczenia stałej całkowania \(C\), podstawiamy do otrzymanego równania warunki początkowe, czyli, w chwili początkowej \(t=0\), prędkość wynosi \(v=v_0\). \[\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b}{m}\cdot 0+C }\] \[\displaystyle{C=-\frac{1}{v_0}}\] Otrzymaną wartość stałej podstawiamy do równania i otrzymujemy: 


Po przekształceniach otrzymujemy wartość  Jakich?  \[\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\left ( \frac{bv_0t}{mv_0}+\frac{m}{mv_0} \right ) }\] \[\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b\,v_0\,t+m}{m\,v_0} }\] 


Następnie należy obliczyć, po jakim czasie \(t_1\) prędkość samochodu zmaleje do polowy, czyli


Po przekształceniach otrzymujemy  Jakich?  \[b\,v_0^2\,t_1+m\,v_0=2m\,v_0\] \[b\,v_0^2\,t_1=2m\,v_0-m\,v_0\] \[b\,v_0^2\,t_1=m\,v_0\] \[b\,v_0\,t_1=m\] 

Rozwiązanie

Wyznaczmy zależność drogi przebytej przez samochód od czasu. We wcześniejszym etapie rozwiązania otrzymaliśmy równanie określające zależność prędkości od czas:

a ponieważ \(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}}\), więc mamy:
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe. Dla ułatwienia całkowania przekształćmy prawą stronę tego równania.

Tak więc mamy
Obie strony równania mnożymy przez \(\mathrm{d} t\) i całkujemy


Podstawiamy nową zmienną całkowania
Po zamianie zmiennych mamy
Po całkowaniu otrzymujemy
Następnie wracamy do pierwotnych zmiennych
Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy  Jakich?  
W celu wyznaczenia stałej całkowania \(C\), podstawiamy do otrzymanego równania warunki początkowe, czyli, w chwili początkowej \(t=0\) oraz \(S=0\). \[\displaystyle{0=\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0} \right )+C }\] \[\displaystyle{0=\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{b}{m}\cdot 0+\frac{1}{v_0} \right )+C}\] \[\displaystyle{C=-\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{1}{v_0} \right ) }\] Otrzymaną wartość stałej podstawiamy do równania i otrzymujemy: 


Po przekształceniach otrzymujemy zależność  Jakich?  \[\displaystyle{S=\frac{m}{b}\left (\ln\left (\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0}\right )-\ln\left (\frac{1}{v_0}\right )\right )}\] \[\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left(\frac{\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0}}{\frac{1}{v_0}}\right )}\] \[\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{btv_0+m}{mv_0}\cdot v_0\right )}\] \[\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{btv_0+m}{m}\right )}\] 


Po czasie \(\displaystyle{t_1=\frac{m}{b\,v_0} }\) samochód, którego prędkość zmaleje do połowy przebędzie drogę