Zadanie 3.3.2.5

DOI: 10.37190/OZE-FizykaCw1-r3

Zadanie 3.3.2.5

Zmienna siła

Samochód o masie

$m$ hamowany jest siłą oporu

$F=-b\,v^2$ . Jaką drogę przebędzie samochód, zanim prędkość jego zmaleje do polowy?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa samochodu $m$ ,
- równanie opisujące siłę hamującą $F=-b\,v^2$ .

Szukane:
- droga przebyta przez samochód zanim jego prędkość zmalała do połowy $S_1$ .

Odpowiedź

Samochód, którego prędkość zmaleje do polowy przebędzie drogę $\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln 2 }$ .

Polecenie

Napisz równanie ruchu prawdziwe dla sytuacji opisanej w zadaniu. Wybierz jedno poprawne równanie spośród czterech, przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$\displaystyle{mv^2=b\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

$\displaystyle{ma=b\frac{\mathrm{d}v^2 }{\mathrm{d} t}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$\displaystyle{m\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-bv}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

$\displaystyle{m\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-bv^2}$

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Równanie ruchu wyprowadzane jest z II zasady dynamiki $F=ma$ . Za siłę podstawiamy wartość podaną w treści zadania. Przyspieszenie $a$ zastępujemy wyrażeniem $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}}$ . W ten sposób otrzymujemy:

$\displaystyle{m\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-b\,v^2}$

Polecenie

Wyznacz czas, w jakim prędkość samochodu zmaleje do połowy. Wybierz prawidłową wartość wśród czterech, przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$\displaystyle{t_1=\frac{m}{bv_0}}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

$\displaystyle{t_1=\frac{bv_0}{m}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$\displaystyle{t_1=\frac{b}{m}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

$\displaystyle{t_1=\frac{m}{b}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Wyznaczenie czasu $t_1$ wymaga rozwiązania równania różniczkowego

$\displaystyle{m\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-b\,v^2}$ ,

w tym celu obie strony mnożymy przez wyrażenie

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}t}{mv^2}}$ i całkujemy

$\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}v}{v^2}=-\frac{b}{m}\int \mathrm{d}t}$

$\displaystyle{\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \,,\mathrm{gdzie}\; n\neq 1}$

$\displaystyle{\frac{1}{-2+1}v^{-2+1}=-\frac{b}{m}t+C }$

$\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b}{m}t+C }$

Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy
W celu wyznaczenia stałej całkowania

$C$ , podstawiamy do otrzymanego równania warunki początkowe, czyli, w chwili początkowej

$t=0$ , prędkość wynosi

$v=v_0$ .

$\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b}{m}\cdot 0+C }$

$\displaystyle{C=-\frac{1}{v_0}}$ Otrzymaną wartość stałej podstawiamy do równania i otrzymujemy:

$\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b}{m}t-\frac{1}{v_0} }$

Po przekształceniach otrzymujemy wartość

$\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\left ( \frac{bv_0t}{mv_0}+\frac{m}{mv_0} \right ) }$

$\displaystyle{-\frac{1}{v}=-\frac{b\,v_0\,t+m}{m\,v_0} }$

$\displaystyle{v=\frac{m\,v_0}{b\,v_0\,t+m} }$

Następnie należy obliczyć, po jakim czasie

$t_1$ prędkość samochodu zmaleje do polowy, czyli

$\displaystyle{v(t_1)=\frac{v_0}{2}=\frac{m\,v_0}{b\,v_0\,t_1+m} }$

Po przekształceniach otrzymujemy

$b\,v_0^2\,t_1+m\,v_0=2m\,v_0$

$b\,v_0^2\,t_1=2m\,v_0-m\,v_0$

$b\,v_0^2\,t_1=m\,v_0$

$b\,v_0\,t_1=m$

$\displaystyle{t_1=\frac{m}{b\,v_0} }$

Polecenie

Znając czas ,po jakim prędkość samochodu zmaleje do połowy $\displaystyle{t_1=\frac{m}{b\,v_0}}$ , wyznacz drogę, jaką przebędzie samochód, zanim prędkość jego zmaleje do polowy. Wybierz jedno prawidłowe rozwiązanie, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{2b}{m} \right ) }$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

$\displaystyle{S_1=\frac{b}{m}\ln2 }$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln2 }$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

$\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{bv}{m} \right ) }$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Wyznaczmy zależność drogi przebytej przez samochód od czasu. We wcześniejszym etapie rozwiązania otrzymaliśmy równanie określające zależność prędkości od czas:

$\displaystyle{v(t)=\frac{m\,v_0}{b\,v_0\,t+m} }$ ,

a ponieważ

$\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}}$ , więc mamy:

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}=\frac{m\,v_0}{b\,v_0\,t+m} }$

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe. Dla ułatwienia całkowania przekształćmy prawą stronę tego równania.

$\displaystyle{v=\frac{m\,v_0}{b\,v_0\,t+m}=\frac{m}{bt+\frac{m}{v_0}}=\frac{1}{\frac{b}{m}t+\frac{1}{v_0}} }$

Tak więc mamy

$\displaystyle{\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\frac{b}{m}t+\frac{1}{v_0}} }$

Obie strony równania mnożymy przez

$\mathrm{d} t$ i całkujemy

$\displaystyle{\int\mathrm{d} S=\int\frac{\mathrm{d} t}{\frac{b}{m}t+\frac{1}{v_0}} }$

Podstawiamy nową zmienną całkowania

$\displaystyle{x=\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0} }$ oraz

$\displaystyle{\mathrm{d}x=\frac{b}{m}\mathrm{d}t }$

Po zamianie zmiennych mamy

$\displaystyle{\int\mathrm{d} S=\int\frac{1}{x}\cdot \frac{m}{b}\mathrm{d}x }$

$\displaystyle{\int\mathrm{d} S=\frac{m}{b} \int\frac{1}{x}\mathrm{d}x }$

Po całkowaniu otrzymujemy

$S=\displaystyle{\frac{m}{b}\ln x+C }$

Następnie wracamy do pierwotnych zmiennych

$S=\displaystyle{\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0} \right )+C }$

Po uwzględnieniu warunków początkowych mamy
W celu wyznaczenia stałej całkowania

$C$ , podstawiamy do otrzymanego równania warunki początkowe, czyli, w chwili początkowej

$t=0$ oraz

$S=0$ .

$\displaystyle{0=\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0} \right )+C }$

$\displaystyle{0=\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{b}{m}\cdot 0+\frac{1}{v_0} \right )+C}$

$\displaystyle{C=-\frac{m}{b}\ln \left ( \frac{1}{v_0} \right ) }$ Otrzymaną wartość stałej podstawiamy do równania i otrzymujemy:

$S=\displaystyle{\frac{m}{b}\ln \left (\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0} \right )-\frac{m}{b}\ln \left (\frac{1}{v_0} \right) }$

Po przekształceniach otrzymujemy zależność

$\displaystyle{S=\frac{m}{b}\left (\ln\left (\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0}\right )-\ln\left (\frac{1}{v_0}\right )\right )}$

$\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left(\frac{\frac{bt}{m}+\frac{1}{v_0}}{\frac{1}{v_0}}\right )}$

$\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{btv_0+m}{mv_0}\cdot v_0\right )}$

$\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{btv_0+m}{m}\right )}$

$\displaystyle{S=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{bv_0}{m}t+1 \right ) }$

Po czasie

$\displaystyle{t_1=\frac{m}{b\,v_0} }$ samochód, którego prędkość zmaleje do połowy przebędzie drogę

$\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln\left (\frac{b\,v_0}{m}\cdot \frac{m}{b\,v_0}+1 \right ) }$

$\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln 2 }$

Odpowiedź

Samochód, którego prędkość zmaleje do polowy przebędzie drogę $\displaystyle{S_1=\frac{m}{b}\ln 2 }$ .

Zadanie 3.3.2.4

Zadanie 3.3.2.6

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 3.3.2.5

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź