Zadanie 4.1.1.7

Tracona moc

Masa

$m$ rozpoczyna ruch pod wpływem siły

$\vec{F}=2t\hat{i}+3t^2\hat{j} \left [ \mathrm{N} \right ]$ . Znajdź moc traconą w chwili

$t$ .

Wskazówka teoretyczna

Teoria - moc

Moc $P$ - skalarna wielkość fizyczna określająca pracę

$W$ wykonaną przez układ fizyczny w jednostce czasu

$t$ . Moc jest równa również iloczynowi skalarnemu wektorów: siły i prędkości.

$\displaystyle{P=\frac{\mathrm{d}W }{\mathrm{d} t}=\vec{F}\cdot\vec{v}}$

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa ciała $m$ ,
- siła działająca na masę $\vec{F}=2t\hat{i}+3t^2\hat{j} \left [ \mathrm{N} \right ]$ .

Szukane:
- tracona moc $P$ .

Analiza sytuacji

Moc w chwili $t$ określa zależność

$\displaystyle{P=\frac{\mathrm{d}W }{\mathrm{d} t}=\vec{F}\cdot\vec{v}}$

W treści zadania podany jest wektor siły

$\vec{F}$ . Brakuje nam natomiast wektora prędkości

$\vec{v}$ .
Z II zasady dynamiki możemy wyznaczyć przyspieszenie ciała nadane mu przez działającą siłę.

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}}$

I tak otrzymujemy:

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{2t\hat{i}+3t^2\hat{j}}{m}}$

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{2}{m}t\,\hat{i}+\frac{3}{m}t^2\,\hat{j} }$

Mając dany wektor przyspieszenia możemy obliczyć wektor prędkości ciała

$\displaystyle{\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t} }$

$\displaystyle{\vec{v}=\int \vec{a}\,\mathrm{d}t }$

$\displaystyle{\vec{v}=\left (\int \frac{2}{m}t\,\mathrm{d}t \right )\hat{i}+\left (\int \frac{3}{m}t^2\,\mathrm{d}t \right )\hat{j} }$

$\displaystyle{\vec{v}=\frac{1}{m}t^2\hat{i}+\frac{1}{m}t^3\hat{j} }$

Teraz już można obliczyć moc

$\displaystyle{P=\vec{F}\cdot\vec{v}}$

Rozwiązanie

$\displaystyle{P=(2t\,\hat{i}+3t^2\hat{j})\cdot (\frac{1}{m}t^2\hat{i}+\frac{1}{m}t^3\hat{j})}$

$\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left (2t\cdot t^2+3t^2\cdot t^3\right ) }$

$\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left (2t^3+3t^5\right )\left [ \mathrm{W} \right ] }$

Odpowiedź

Tracona moc wynosi $\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left ( 2t^3+3t^5\right )\left [\mathrm{W}\right ]}$ .

Zadanie 4.1.1.6

4.1.2 Trening

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta