Zadanie 4.1.1.7
Tracona moc
Masa \(m\) rozpoczyna ruch pod wpływem siły \(\vec{F}=2t\hat{i}+3t^2\hat{j} \left [ \mathrm{N} \right ]\). Znajdź moc traconą w chwili \(t\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - moc
Moc \(P\) - skalarna wielkość fizyczna określająca pracę \(W\) wykonaną przez układ fizyczny w jednostce czasu \(t\). Moc jest równa również iloczynowi skalarnemu wektorów: siły i prędkości.
\(\displaystyle{P=\frac{\mathrm{d}W }{\mathrm{d} t}=\vec{F}\cdot\vec{v}}\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa ciała \(m\),
- siła działająca na masę \(\vec{F}=2t\hat{i}+3t^2\hat{j} \left [ \mathrm{N} \right ]\).
Szukane:
- tracona moc \(P\).
Analiza sytuacji
Moc w chwili \(t\) określa zależność
\(\displaystyle{P=\frac{\mathrm{d}W }{\mathrm{d} t}=\vec{F}\cdot\vec{v}}\)
W treści zadania podany jest wektor siły \(\vec{F}\). Brakuje nam natomiast wektora prędkości \(\vec{v}\).
Z II zasady dynamiki możemy wyznaczyć przyspieszenie ciała nadane mu przez działającą siłę.
\(\displaystyle{\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}}\)
I tak otrzymujemy:Mając dany wektor przyspieszenia możemy obliczyć wektor prędkości ciała
\(\displaystyle{\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t} }\)
\(\displaystyle{\vec{v}=\int \vec{a}\,\mathrm{d}t }\)
\(\displaystyle{\vec{v}=\left (\int \frac{2}{m}t\,\mathrm{d}t \right )\hat{i}+\left (\int \frac{3}{m}t^2\,\mathrm{d}t \right )\hat{j} }\)
\(\displaystyle{\vec{v}=\frac{1}{m}t^2\hat{i}+\frac{1}{m}t^3\hat{j} }\)
Teraz już można obliczyć moc
\(\displaystyle{P=\vec{F}\cdot\vec{v}}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{P=(2t\,\hat{i}+3t^2\hat{j})\cdot (\frac{1}{m}t^2\hat{i}+\frac{1}{m}t^3\hat{j})}\)
\(\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left (2t\cdot t^2+3t^2\cdot t^3\right ) }\)
\(\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left (2t^3+3t^5\right )\left [ \mathrm{W} \right ] }\)
Odpowiedź
Tracona moc wynosi \(\displaystyle{P=\left (\frac{1}{m}\right )\left ( 2t^3+3t^5\right )\left [\mathrm{W}\right ]}\).