Zadanie 4.1.2.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.1. Praca sił. Energia mechaniczna
  4. 4.1.2 Trening
  5. Zadanie 4.1.2.3

 Zadanie 4.1.2.3

Praca - podnoszenie liny
Na ziemi leży lina o masie \(4\,\mathrm{kg}\) i długości \(8\,\mathrm{m}\). Załóżmy, że chwytamy za jeden z jej końców i, wchodząc po drabinie, podnosimy do góry, dopóki drugi koniec nie oderwie się od podłogi. Wyznacz minimalną wartość pracy, jaką należy przy tym wykonać. Załóż, że lina na całej swej długości jest jednorodna.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa liny \(m=4\,\mathrm{kg}\),
- długość liny \(l=8\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- minimalna praca, jaką należy wykonać, aby podnieść linę: \(W\).

Odpowiedź

Minimalna praca, jaką należy wykonać, aby podnieść linę, wynosi \(W=160\,\mathrm{J}\).

Polecenie

Wybierz prawidłowe stwierdzenie, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Stwierdzenie 1 z 2

Praca wykonana na podniesienie liny, będzie równa zmianie energii potencjalnej środka masy liny.

Odpowiedź prawidłowa

Stwierdzenie 1 z 2

Praca wykonana na podniesienie liny, będzie równa energii potencjalnej \(E_p=mgl\), gdzie \(l\) oznacza długość liny.

Odpowiedź nieprawidłowa.
Środek masy jednorodnej liny swobodnie wiszącej tak, że jej dolny koniec dotyka ziemi, znajduje się na wysokości równej połowie długości liny, a nie na jej końcu.

Polecenie

Oblicz wartość minimalnej pracy, jaką należy wykonać, aby podnieść linę, a następnie wybierz jedną prawidłową odpowiedź, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(W=40\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(W=80\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(W=160\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(W=320\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Praca wykonana na podniesienie liny będzie równa zmianie energii potencjalnej środka masy liny.
Środek masy jednorodnej liny swobodnie wiszącej tak, że jej dolny koniec dotyka ziemi, znajduje się na wysokości równej połowie długości liny. Posiada on energię potencjalną równą

\(\displaystyle{E_p=mg\frac{1}{2}l}\)

Energia potencjalna początkowa środka masy była równa zero, tak więc wykonana praca na podniesienie liny za jej koniec, będzie równa:

\(\displaystyle{E_p=\frac{1}{2}mgl-0=\frac{1}{2}mgl}\)

Po podstawieniu danych otrzymujemy

\(\displaystyle{W=0,5\cdot 4\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\mathrm{\frac{m}{s_2}}\cdot 8\,\mathrm{m} =160\,\mathrm{J}}\)

Obliczenia można przeprowadzić jeszcze w inny sposób.
Na element liny o masie \(\mathrm{d}m\), odległy od jego końca o \(x\) działa siła ciężkości \(\mathrm{d}F=g\,\mathrm{d}m\). Ponieważ cały jednorodny łańcuch "kawałków liny" o długości \(l\) ma masę \(m\), tak więc z proporcji \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}x}{l}=\frac{\mathrm{d}m}{m} }\) wynika, że rozpatrywany element ma masę \(\displaystyle{\mathrm{d}m=\frac{m}{l}\mathrm{d}x}\). Element ten należy podnieść na wysokość \(x\), działając na niego siłą, co do wartości równą sile \(\mathrm{d}F\), ale przeciwnie skierowaną. Zostanie przy tym wykonana elementarna praca.

\(\displaystyle{dW=x\,\mathrm{d}F=xg\,\mathrm{d}m }\)

\(\displaystyle{dW=\frac{mg}{l}x\,\mathrm{d}x }\)

Sumując takie elementarne prace otrzymujemy

\(\displaystyle{W=\int_0^l \frac{mg}{l}x\,\mathrm{d}x }\)

\(\displaystyle{W=\frac{mg}{l}\frac{1}{2}\left [ x^2 \right ]_0^l }\)

\(\displaystyle{W=\frac{mgl}{2} }\)

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy
\(W=160\,\mathrm{J}\)

Odpowiedź

Minimalna praca, jaką należy wykonać, aby podnieść linę, wynosi \(W=160\,\mathrm{J}\).