Zadanie 4.1.2.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.1. Praca sił. Energia mechaniczna
  4. 4.1.2 Trening
  5. Zadanie 4.1.2.5

 Zadanie 4.1.2.5

Praca przy podnoszeniu niejednorodnego łańcucha
Na podłodze leży niejednorodny łańcuch. Jego masa zależy od odległości \(x\) od jednego z końców według wzoru \(\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}\), gdzie \(l\) jest długością łańcucha. Jeden z jego końców podnosimy do góry dopóki łańcuch nie oderwie się od podłogi. Wyznacz minimalną wartość pracy, jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- długość łańcucha \(l\),
- zależność opisująca masę \(\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}\),
- przyspieszenie ziemskie \(g\).

Szukane:
- minimalna wartość pracy, jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi \(W\).

Odpowiedź

Po podniesienia łańcucha, należy wykonać pracę o wartości \(\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l}\).

Polecenie

Wyznacz pracę wykonaną przy podnoszeniu łańcucha. Wybierz jedną prawidłową zależność, spośród czterech przedstawionych powyżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{W=\frac{1}{2}m_0 g l}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{W=\frac{1}{3}m_0 g l}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{W=2 m_0 g\frac{1}{l^2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Dla niejednorodnego łańcucha jest podana zależność masy od odległości \(\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}\). Masę \(\mathrm{d}m\) elementu łańcucha o długości \(\mathrm{d}x\) obliczamy różniczkując tą zależność

\(\displaystyle{\mathrm{d}m=\frac{2m_0}{l^2}x\,\mathrm{d}x }\)

Siła \(\mathrm{d}F\) ma postać

\(\displaystyle{\mathrm{d}F=g\,\mathrm{d}m=g\frac{2m_0}{l^2}x\,\mathrm{d}x }\)

Elementarna praca wynosi

\(\displaystyle{\mathrm{d}W=x\,\mathrm{d}F=\frac{2m_0g}{l^2}x^2\,\mathrm{d}x}\)
 
Całkowita praca równa jest całce

\(\displaystyle{W=\frac{2m_0g}{l^2}\int_0^l x^2 \mathrm{d}x}\)
 \[\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C, \; n\neq-1\] 
\(\displaystyle{W=\left [ \frac{2\,m_0g}{3\,l^2}x^3 \right ]_0^l }\)

\(\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0gl }\)

Odpowiedź

Po podniesienia łańcucha, należy wykonać pracę o wartości \(\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l^2}\).