Zadanie 4.1.2.5

Praca przy podnoszeniu niejednorodnego łańcucha

Na podłodze leży niejednorodny łańcuch. Jego masa zależy od odległości

$x$ od jednego z końców według wzoru

$\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}$ , gdzie

$l$ jest długością łańcucha. Jeden z jego końców podnosimy do góry dopóki łańcuch nie oderwie się od podłogi. Wyznacz minimalną wartość pracy, jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- długość łańcucha $l$ ,
- zależność opisująca masę $\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}$ ,
- przyspieszenie ziemskie $g$ .

Szukane:
- minimalna wartość pracy, jaką należy wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi $W$ .

Odpowiedź

Po podniesienia łańcucha, należy wykonać pracę o wartości $\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l}$ .

Polecenie

Wyznacz pracę wykonaną przy podnoszeniu łańcucha. Wybierz jedną prawidłową zależność, spośród czterech przedstawionych powyżej.

Wybór 1 z 4

$\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

$\displaystyle{W=\frac{1}{2}m_0 g l}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$\displaystyle{W=\frac{1}{3}m_0 g l}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

$\displaystyle{W=2 m_0 g\frac{1}{l^2}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Dla niejednorodnego łańcucha jest podana zależność masy od odległości $\displaystyle{m(x)=m_0\left ( \frac{x}{l} \right )^2}$ . Masę $\mathrm{d}m$ elementu łańcucha o długości $\mathrm{d}x$ obliczamy różniczkując tą zależność

$\displaystyle{\mathrm{d}m=\frac{2m_0}{l^2}x\,\mathrm{d}x }$

Siła

$\mathrm{d}F$ ma postać

$\displaystyle{\mathrm{d}F=g\,\mathrm{d}m=g\frac{2m_0}{l^2}x\,\mathrm{d}x }$

Elementarna praca wynosi

$\displaystyle{\mathrm{d}W=x\,\mathrm{d}F=\frac{2m_0g}{l^2}x^2\,\mathrm{d}x}$

Całkowita praca równa jest całce

$\displaystyle{W=\frac{2m_0g}{l^2}\int_0^l x^2 \mathrm{d}x}$

$\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C, \; n\neq-1$

$\displaystyle{W=\left [ \frac{2\,m_0g}{3\,l^2}x^3 \right ]_0^l }$

$\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0gl }$

Odpowiedź

Po podniesienia łańcucha, należy wykonać pracę o wartości $\displaystyle{W=\frac{2}{3}m_0 g l^2}$ .

Zadanie 4.1.2.4

Zadanie 4.1.2.6

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 4.1.2.5

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź