Processing math: 100%
Zadanie 4.1.2.6

 Zadanie 4.1.2.6

Spadająca kulka
Kula o masie 5kg spada z wysokości 20m zagłębiła się w piasku na głębokość 5cm. Wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej w piasku na kulę oraz pracę tej siły. Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kuli.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa kuli m=5kg,
- wysokość, z jakiej spadła kula h=20m,
- głębokość, na jaką zagłębiła się kula w piasku d=5cm=0,05m,
- przyspieszenie ziemskie g=10ms2.

Szukane:
- praca siły oporu W,
- wartość siły oporu F,
- czas hamowania kuli t.

Odpowiedź

Średnia wartość siły oporu działającej w piasku na kulę wynosi F=20kN. Siła ta wykonała pracę W=1kJ. Kulka wyhamowała w czasie 5ms.

Polecenie

Oblicz wartość pracy wykonaną przeciwko siłom oporu. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

W=1kJ

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

W=0J

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

W=1J

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

W=1kJ

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Kula spadając uzyskuje prędkość na skutek zamiany energii potencjalnej na energię kinetyczną. W czasie zagłębiania się kuli w ziemi, jej energia kinetyczna maleje do zera na skutek działania na kulę w piasku siły oporu. Wartość bezwzględna pracy siły oporu jest równa energii kinetycznej kuli tuż przed uderzeniem w piasek. Zgodnie z prawem zachowania energii, energia kinetyczna kuli, tuż przed uderzeniem w piasek, jest równa jej początkowej energii potencjalnej. Pracę siły oporu w czasie ruchu w piasku obliczymy z definicji pracy stałej siły przyjmując, że siła oporu jest stała. Kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku ruchu kuli w piasku, czyli przeciwny do przesunięcia.

 Zgodnie z definicją siła oporu w piasku wykonuje pracę równą:

W=Fd

W=Fdcos180=Fd

gdzie znak „-” wynika z tego, że kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku przesunięcia (kąt między nimi wynosi 180).

W momencie uderzenia o piasek kula posiadała energię kinetyczną Ek, którą uzyskała w wyniku zamiany jej początkowej energii potencjalnej Ep=mgh na energię kinetyczną, czyli

Ek=Ep=mgh

W czasie zagłębiania się w piasku energia kinetyczna kulki jest zamieniana na pracę przeciw siłom oporu. Zgodnie prawem zachowania energii, wartość bezwzględna tej pracy jest równa energii kinetycznej Ek kuli przed uderzeniem w piasek.

W=mgh

W=5kg10ms220m

W=1000J=1kJ

Polecenie

Oblicz wartość siły oporu działającej w piasku na kulę. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

F=20kN

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

F=200N

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

F=200N

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

F=20kN

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Znając pracę siły oporu możemy wyznaczyć jej wartość:

F=Wd

F=(1000J)0,05m=20kN

Polecenie

Zakładając, że siła oporu jest stała, obliczyć czas hamowania kuli. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

t=0,5ms

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

t=5ms

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

t=50ms

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

t=5s

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Przystąpmy obecnie do wyznaczenia czasu, w jakim kula wyhamowała w piasku. Czas ten będziemy liczyli od momentu uderzenia kuli o piasek. Zgodnie z założeniem, w czasie ruchu kuli w piasku, działa na nią stała siła. Zgodnie z II zasadą dynamiki kula w piasku będzie poruszała się ruchem jednostajnie opóźnionym z pewnym opóźnieniem (równym bezwzględnej wartości przyspieszenia)

a=Fm

Skorzystajmy teraz z zależności prędkości od czasu dla ruchu jednostajnie opóźnionego z prędkością początkową v0 i prędkością końcową vk=0. Otrzymamy w ten sposób układ dwu równań z dwiema niewiadomymi:

{0=v0atd=v0tat22

Po podstawieniu wartości uzyskanej z pierwszego równania v0=at do drugiego, otrzymujemy:

d=at2at22=at22

t2=2da

t=2dmF

t=20,05520000=0,005s

t=5ms

mkgN=mkgs2mkg=s2=s

Odpowiedź

Średnia wartość siły oporu działającej w piasku na kulę wynosi F=20kN. Siła ta wykonała pracę W=1kJ. Kulka wyhamowała w czasie 5ms.