Rozwiązanie

Kula spadając uzyskuje prędkość na skutek zamiany energii potencjalnej na energię kinetyczną. W czasie zagłębiania się kuli w ziemi, jej energia kinetyczna maleje do zera na skutek działania na kulę w piasku siły oporu. Wartość bezwzględna pracy siły oporu jest równa energii kinetycznej kuli tuż przed uderzeniem w piasek. Zgodnie z prawem zachowania energii, energia kinetyczna kuli, tuż przed uderzeniem w piasek, jest równa jej początkowej energii potencjalnej. Pracę siły oporu w czasie ruchu w piasku obliczymy z definicji pracy stałej siły przyjmując, że siła oporu jest stała. Kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku ruchu kuli w piasku, czyli przeciwny do przesunięcia.

 Zgodnie z definicją siła oporu w piasku wykonuje pracę równą:

gdzie znak „-” wynika z tego, że kierunek siły oporu jest przeciwny do kierunku przesunięcia (kąt między nimi wynosi $180^{\circ}$).

W momencie uderzenia o piasek kula posiadała energię kinetyczną $E_k$, którą uzyskała w wyniku zamiany jej początkowej energii potencjalnej $E_p=mgh$ na energię kinetyczną, czyli


W czasie zagłębiania się w piasku energia kinetyczna kulki jest zamieniana na pracę przeciw siłom oporu. Zgodnie prawem zachowania energii, wartość bezwzględna tej pracy jest równa energii kinetycznej $E_k$ kuli przed uderzeniem w piasek.

Rozwiązanie

Znając pracę siły oporu możemy wyznaczyć jej wartość:

Rozwiązanie

Przystąpmy obecnie do wyznaczenia czasu, w jakim kula wyhamowała w piasku. Czas ten będziemy liczyli od momentu uderzenia kuli o piasek. Zgodnie z założeniem, w czasie ruchu kuli w piasku, działa na nią stała siła. Zgodnie z II zasadą dynamiki kula w piasku będzie poruszała się ruchem jednostajnie opóźnionym z pewnym opóźnieniem (równym bezwzględnej wartości przyspieszenia)

Skorzystajmy teraz z zależności prędkości od czasu dla ruchu jednostajnie opóźnionego z prędkością początkową $v_0$ i prędkością końcową $v_k=0$. Otrzymamy w ten sposób układ dwu równań z dwiema niewiadomymi:


Po podstawieniu wartości uzyskanej z pierwszego równania $v_0=at$ do drugiego, otrzymujemy: