Zadanie 4.2.1.1

Straty energii mechanicznej

Piłkę o masie $0,1\,\mathrm{kg}$ upuszczono z wysokości $5\,\mathrm{m}$ . Wiemy, że po każdym odbiciu traci ona $10$ % swojej energii mechanicznej.
a) Oblicz na, jaką wysokość wzniesie się piłka po drugim odbiciu.
b) Oblicz prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - straty energii

Straty energii podczas odbić piłki po upuszczeniu jej z pewnej wysokości.

Ogólne wyrażenie na energię piłki po

$n$ – tym odbiciu wynosi

$E_n=\left (1-q \right )^n E_0$ ,

gdzie

$q$ oznacza współczynnik strat energii. Energia całkowita, tuż po odbiciu piłki, jest równa energii kinetycznej piłki

$\displaystyle{E_{n}=E_{kn}=\frac{mv_n^2}{2}}$ ,

a gdy piłka osiągnie maksymalną wysokość to energia całkowita piłki jest równa energii potencjalnej

$E_{n}=E_{pn}=mgh_n$ .

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa piłki $m=0,1\,\mathrm{kg}$ ,
- początkowa wysokość, z jakiej spadła piłka $h=5\,\mathrm{m}$ ,
- strata energii mechanicznej po każdym odbiciu $10$ %,
- przyspieszenie ziemskie $\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$ .

Szukane:
- wysokość, na jaką wzniesie się piłka po drugim odbiciu $h_2$ ,
- prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu $v_3$ .

Analiza sytuacji

Piłka na wysokości $5\,\mathrm{m}$ ma energię mechaniczną równą energii potencjalnej. Podczas spadku piłki następuje w całości zamiana jej energii potencjalnej na energię kinetyczną (zaniedbujemy pracę siły oporu powietrza). Przy każdym odbiciu następuje skokowo zamiana części energii mechanicznej na energię wewnętrzną (cieplną) podłogi i piłki, w związku z tym energia mechaniczna piłki maleje.

Początkowa energia mechaniczna $E_0$ piłki równa jej początkowej energii potencjalnej, wynosi:

$E_0=mgh$

Po pierwszym odbiciu energia ta wynosi:

$E_1=E_0-10\%E_0=90\%E_0$

Po drugim odbiciu mamy

$E_2=90\%\,E_1=(90\%)^2 E_0$

Po trzecim odbiciu mamy

$E_3=90\%\,E_2=(90\%)^3 E_0$

Rozwiązanie

a) Wysokość $h_2$ , na jaką wzniesie się piłka po drugim odbiciu znajdujemy z faktu, że, po drugim odbiciu, energia całkowita piłki jest równa energii potencjalnej na maksymalnej wysokości piłki $E_2=mgh_2$ . Mamy więc:

$\displaystyle{h_2=\frac{E_2}{mg}=\frac{(90\%)^2 E_0}{mg}}$

$\displaystyle{h_2=\frac{(90\%)^2 mgh}{mg}}$

$h_2=(90\%)^2h$

$h_2=0,81\cdot 5$

$h_2=4,05\,\mathrm{m}$

b) Prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu znajdujemy z tego faktu, że tuż po trzecim odbiciu energia całkowita jest równa energii kinetycznej piłki

$\displaystyle{E_3=\frac{mv_3^2}{2} }$

Z zasady zachowania energii mamy

$\displaystyle{\frac{mv_3^2}{2}=(0,9)^3E_0 }$

$\displaystyle{\frac{mv_3^2}{2}=(0,9)^3mgh }$

$v_3=\sqrt{2\cdot (0,9)^3 gh}$

$v_3=\sqrt{2\cdot 0,729\cdot 10\cdot 5}$

$\displaystyle{v_3=8,54\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$

Poniżej na ośmiu wykresach przedstawiona jest sytuacja opisana w zadania. Pod wykresami umieszczone są przyciski, które pozwolą Ci na przełączanie kolejnych wykresów.

Odpowiedź

Piłka, po drugim odbiciu, wzniesie się na wysokość $h_2=4,05\,\mathrm{m}$ , natomiast wartość prędkości piłki tuż po trzecim odbiciu wynosi $\displaystyle{v_3=8,54\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .

4.2.1 Nauka

Zadanie 4.2.1.2

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta