Zadanie 4.2.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.2. Zasada zachowania energi
  4. 4.2.1 Nauka
  5. Zadanie 4.2.1.1

 Zadanie 4.2.1.1

Straty energii mechanicznej

Piłkę o masie \(0,1\,\mathrm{kg}\) upuszczono z wysokości \(5\,\mathrm{m}\). Wiemy, że po każdym odbiciu traci ona \(10\)% swojej energii mechanicznej.
a) Oblicz na, jaką wysokość wzniesie się piłka po drugim odbiciu.
b) Oblicz prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - straty energii
Straty energii podczas odbić piłki po upuszczeniu jej z pewnej wysokości.

Ogólne wyrażenie na energię piłki po \(n\)– tym odbiciu wynosi

\(E_n=\left (1-q \right )^n E_0\),

gdzie \(q\) oznacza współczynnik strat energii. Energia całkowita, tuż po odbiciu piłki, jest równa energii kinetycznej piłki

\(\displaystyle{E_{n}=E_{kn}=\frac{mv_n^2}{2}}\),

a gdy piłka osiągnie maksymalną wysokość to energia całkowita piłki jest równa energii potencjalnej

\(E_{n}=E_{pn}=mgh_n\).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa piłki \(m=0,1\,\mathrm{kg}\),
- początkowa wysokość, z jakiej spadła piłka \(h=5\,\mathrm{m}\),
- strata energii mechanicznej po każdym odbiciu \(10\)%,
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- wysokość, na jaką wzniesie się piłka po drugim odbiciu \(h_2\),
- prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu \(v_3\).

Analiza sytuacji

Piłka na wysokości \(5\,\mathrm{m}\) ma energię mechaniczną równą energii potencjalnej. Podczas spadku piłki następuje w całości zamiana jej energii potencjalnej na energię kinetyczną (zaniedbujemy pracę siły oporu powietrza). Przy każdym odbiciu następuje skokowo zamiana części energii mechanicznej na energię wewnętrzną (cieplną) podłogi i piłki, w związku z tym energia mechaniczna piłki maleje.

Początkowa energia mechaniczna \(E_0\) piłki równa jej początkowej energii potencjalnej, wynosi:

\(E_0=mgh\)

Po pierwszym odbiciu energia ta wynosi:

\(E_1=E_0-10\%E_0=90\%E_0\)

Po drugim odbiciu mamy

\(E_2=90\%\,E_1=(90\%)^2 E_0\)

Po trzecim odbiciu mamy

\(E_3=90\%\,E_2=(90\%)^3 E_0\)

Rozwiązanie

a) Wysokość \(h_2\), na jaką wzniesie się piłka po drugim odbiciu znajdujemy z faktu, że, po drugim odbiciu, energia całkowita piłki jest równa energii potencjalnej na maksymalnej wysokości piłki \(E_2=mgh_2\). Mamy więc:

\(\displaystyle{h_2=\frac{E_2}{mg}=\frac{(90\%)^2 E_0}{mg}}\)
 \[\displaystyle{h_2=\frac{(90\%)^2 mgh}{mg}}\] \[h_2=(90\%)^2h\] \[h_2=0,81\cdot 5\] 
\(h_2=4,05\,\mathrm{m}\)

b) Prędkość piłki tuż po trzecim odbiciu znajdujemy z tego faktu, że tuż po trzecim odbiciu energia całkowita jest równa energii kinetycznej piłki

\(\displaystyle{E_3=\frac{mv_3^2}{2} }\)

Z zasady zachowania energii mamy

\(\displaystyle{\frac{mv_3^2}{2}=(0,9)^3E_0 }\)
 \[\displaystyle{\frac{mv_3^2}{2}=(0,9)^3mgh }\] \[v_3=\sqrt{2\cdot (0,9)^3 gh} \] \[v_3=\sqrt{2\cdot 0,729\cdot 10\cdot 5} \] 
 
\(\displaystyle{v_3=8,54\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Poniżej na ośmiu wykresach przedstawiona jest sytuacja opisana w zadania. Pod wykresami umieszczone są przyciski, które pozwolą Ci na przełączanie kolejnych wykresów.

Odpowiedź

Piłka, po drugim odbiciu, wzniesie się na wysokość \(h_2=4,05\,\mathrm{m}\), natomiast wartość prędkości piłki tuż po trzecim odbiciu wynosi \(\displaystyle{v_3=8,54\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).