Zadanie 4.3.1.1
Położenie i prędkość cząstki w polu siły
Cząstka o masie \(3\,\mathrm{kg}\) porusza się w polu siły \(\vec{F}\) zależnej od czasu w następujący sposób: \(\vec{F}=\left (15t,\;3t-12,\;-6t^2 \right )\,\mathrm{N}\), gdzie czas \(t\) jest w \(\mathrm{s}\). Przyjmując warunki początkowe \(\vec{r}_0=(5,\;2,\;-3)\,\mathrm{m}\), \(\displaystyle{\vec{v}_0=(2,\,0,\,1)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) znajdź zależność położenia i prędkości cząstki od czasu.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa cząstki \(m=3\,\mathrm{kg}\),
- zależność określająca siłę \(\vec{F}=\left (15t,\;3t-12,\;-6t^2 \right )\,\mathrm{N}\),
- wektor położenia \(\vec{r}_0=(5,\;2,\;-3)\,\mathrm{m}\),
- wektor prędkości początkowej \(\displaystyle{\vec{v}_0=(2,\,0,\,1)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).
Szukane:
- zależność położenia cząstki od czasu \(\vec{r}\),
- zależność prędkości cząstki od czasu \(\vec{v}\).
Analiza sytuacji
Wyznaczenie zależności położenia i prędkości cząstki od czasu sprowadza się w zasadzie do rozwiązania równań wynikającej z
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.
\(\displaystyle{\vec{F}=m\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d} t} }\)
Rozwiązanie
Rozpisując równanie wektorowe na poszczególne składowe otrzymujemy trzy równania
\(\displaystyle{F_x=m\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\), \(\displaystyle{F_y=m\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d} t} }\), \(\displaystyle{F_z=m\,\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d} t} }\)
Znajdźmy najpierw współrzędne wektora prędkości, a następnie współrzędne wektora położenia.
Współrzędne x-owe.
Gotowe rozwiązania:
\(\displaystyle{v_x=\frac{5}{2}\,t^2+2\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
\(\displaystyle{r_x=\frac{5}{6}\,t^3+2t+5\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(V_x\)
\(\displaystyle{\frac{1}{m} F_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\)
Z danych zadania wiemy, że \(F_x=15\,t\,\mathrm{N}\) oraz \(m=3\,\mathrm{kg}\)
\(\displaystyle{\frac{1}{3}\cdot15\,t=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\)
Po rozdzieleniu zmiennych mamy
\(\displaystyle{v_x=\int 5t\,\mathrm{d}t }\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{v_x=5\cdot\frac{1}{2} t^2+C_{vx} }\)
Stałą całkowania \(C_{vx}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{x0}=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{2=\frac{5}{2}\cdot 0^2+C_{vx} }\)
\(C_{vx}=2\)
Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_x\) wektora prędkości od czasu jest następująca
\(\displaystyle{v_x=\frac{5}{2}\, t^2+2\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(r_x\)
Następnie znajdziemy zależność \(r_x(t)\) korzystając z równania \(\displaystyle{v_x=\frac{\mathrm{d}r_x }{\mathrm{d} t}}\)
Stałą całkowania \(C_x\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_x=5\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r_x }{\mathrm{d} t}=\frac{5}{2}\, t^2+2}\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{r_x=\int\left (\frac{5}{2}\, t^2+2\right ) \mathrm{d}\,t }\)
\(\displaystyle{r_x=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{3} t^3+2t+C_x }\)
Stałą całkowania \(C_x\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_x=5\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{5=\frac{5}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0+C_x }\)
\(C_x=5\)
Ostatecznie więc mamy:\(\displaystyle{r_x=\frac{5}{6}\,t^3+2t+5\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Rozwiązanie - składowe \(y\)
Składowe \(y\)-kowe znajdujemy analogicznie do jak poprzednio.
\(\displaystyle{F_y=m\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d} t} }\)
Gotowe rozwiązania:
\(\displaystyle{v_y=\frac{1}{2}\,t^2-4t\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
\(\displaystyle{r_y=\frac{1}{6}\,t^3-2t^2+2\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(V_y\)
Z danych zadania wiemy, że \(F_y=(3\,t-12)\,\mathrm{N}\) oraz \(m=3\,\mathrm{kg}\)
Po rozdzieleniu zmiennych mamy
Stałą całkowania \(C_{vy}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{y0}=0\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).
Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_y\) wektora prędkości od czasu jest następująca
\(\displaystyle{\frac{1}{3}\cdot (3\,t-12)=\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d} t} }\)
Po rozdzieleniu zmiennych mamy
\(\displaystyle{v_y=\int (t-4)\,\mathrm{d}t }\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{v_y=\frac{1}{2} t^2-4t+C_{vy} }\)
Stałą całkowania \(C_{vy}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{y0}=0\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{0=\frac{1}{2}\cdot 0^2-4\cdot 0+C_{vy} }\)
\(C_{vy}=0\)
Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_y\) wektora prędkości od czasu jest następująca
\(\displaystyle{v_y=\frac{1}{2}\,t^2-4\,t\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(r_y\)
Następnie znajdziemy zależność \(r_y(t)\) korzystając z równania \(\displaystyle{v_y=\frac{\mathrm{d}r_y }{\mathrm{d} t}}\)
Stałą całkowania \(C_y\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_y=2\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r_y }{\mathrm{d} t}=\frac{1}{2}\, t^2-4\,t}\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{r_y=\int\left (\frac{1}{2}\, t^2-4\,t\right ) \mathrm{d}\,t }\)
\(\displaystyle{r_y=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} t^3-4\cdot\frac{1}{2}\,t^2+C_y }\)
Stałą całkowania \(C_y\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_y=2\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{2=\frac{1}{6}\cdot 0^3-2\cdot 0^2+C_y }\)
\(C_y=2\)
Ostatecznie więc mamy:\(\displaystyle{r_y=\frac{1}{6}\cdot t^3-2\,t^2+2\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Rozwiązanie - składowe \(z\)
Składowe \(z\)-towe znajdujemy analogicznie do jak poprzednio.
\(\displaystyle{F_z=m\,\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d} t} }\)
Gotowe rozwiązania:
\(\displaystyle{v_z=-\frac{2}{3}\,t^3+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
\(\displaystyle{r_z=-\frac{1}{6}\,t^4+t-3\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(V_z\)
Z danych zadania wiemy, że \(F_z=-6\,t^2\,\mathrm{N}\) oraz \(m=3\,\mathrm{kg}\)
Po rozdzieleniu zmiennych mamy
Stałą całkowania \(C_{vz}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{z0}=1\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).
Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_y\) wektora prędkości od czasu jest następująca
\(\displaystyle{\frac{1}{3}\cdot (-6\,t^2)=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d} t} }\)
Po rozdzieleniu zmiennych mamy
\(\displaystyle{v_z=\int (-2\,t^2)\,\mathrm{d}t }\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{v_z=-2\cdot \frac{1}{3} t^3+C_{vz} }\)
Stałą całkowania \(C_{vz}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{z0}=1\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{1=-\frac{2}{3}\cdot 0^3+C_{vz} }\)
\(C_{vz}=1\)
Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_y\) wektora prędkości od czasu jest następująca
\(\displaystyle{v_z=-\frac{2}{3}\,t^3+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s} \right ]} }\)
Szczegółowe rozwiązanie \(r_z\)
Następnie znajdziemy zależność \(r_z(t)\) korzystając z równania \(\displaystyle{v_z=\frac{\mathrm{d}r_z }{\mathrm{d} t}}\)
Stałą całkowania \(C_z\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_z=-3\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r_z }{\mathrm{d} t}=-\frac{2}{3}\, t^3+1}\)
\[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\]
\(\displaystyle{r_z=\int\left (-\frac{2}{3}\, t^3+1\right ) \mathrm{d}\,t }\)
\(\displaystyle{r_z=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} t^4+t+C_z }\)
Stałą całkowania \(C_z\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_z=-3\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).
\(\displaystyle{-3=-\frac{1}{6}\cdot 0^4+0+C_z }\)
\(C_z=-3\)
Ostatecznie więc mamy:\(\displaystyle{r_z=-\frac{1}{6}\,t^4+t-3\,\left [\mathrm{m}\right ] }\)
Odpowiedź
Wzory opisująca zależność prędkości od położenia mają następująca postać:
\(\displaystyle{\vec{v}=\left (\frac{5}{2}\,t^2+2,\;\frac{1}{2}\,t^2-4\,t,\;-\frac{2}{3}\,t^3+1\right )\,\mathrm{\frac{m}{s} } }\)
\(\displaystyle{\vec{r}=\left (\frac{5}{6}\,t^3+2\,t+5,\;\frac{1}{6}\,t^3-2\,t^2+2,\;-\frac{1}{6}\,t^4+t-3\right )\,\mathrm{m} }\)