Zadanie 4.3.1.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.3. Pola sił
  4. 4.3.1 Nauka
  5. Zadanie 4.3.1.2

 Zadanie 4.3.1.2

Energia potencjalna w polu sił
Znajdź zależność energii potencjalnej od odległości od centrum w polu sił:
a) \(\displaystyle{\vec{F}_1=-\frac{k}{r^4}\,\hat{r} }\),
b) \(\vec{F}_2=-kr^2\,\hat{r} \),

gdzie \(k\) jest stałą, a \(\hat{r}\) wektorem jednostkowym wzdłuż promienia wodzącego.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - pole sił centralnech
Siła centralna \(\vec{F}\) - to siła skierowana zawsze do lub od pewnego stałego punktu, zwanego centrum pola, a jej wartość zależy tylko od odległości od centrum.

\(\vec{F}(\vec{r})=f(r)\,\hat{r} \)

gdzie \(\vec{r}\) - promień wodzący danego punktu pola, \(f(r)\) - funkcja określająca zależność wartości siły pola od odległości od centrum pola, \(\hat{r}\) - wersor promienia wodzącego, \(\vec{r}=r\hat{r}\).

Związek między siłą a energią potencjalną.

\(\displaystyle{\vec{F}(\vec{r})=-\frac{\mathrm{d}E_p(r)}{\mathrm{d}r}\,\hat{r} }\)

gdzie \(E_p(r)\) - energia potencjalna zależna tylko od odległości od centrum pola.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- zależność określająca pole sił \(\displaystyle{\vec{F}_1=-\frac{k}{r^4}\,\hat{r} }\),
- zależność określająca pole sił \(\vec{F}_2=-kr^2\,\hat{r} \),
- stała \(k\).

Szukane:
- zależność energii potencjalnej od odległości od centrum w polu siły \(\vec{F}_1\): \(E_{p1}(r)\),
- zależność energii potencjalnej od odległości od centrum w polu sił \(\vec{F}_2\): \(E_{p2}(r)\).

Analiza sytuacji

Pola sił zadane przez siły \(\vec{F}_1\) oraz \(\vec{F}_2\) są polami centralnymi. Jak wiemy pole sił centralnych jest polem zachowawczym, a przez to potencjalnym. W takim polu możemy zapisać, że:

\(\displaystyle{E_{p1}(r)=-\int f(r)\,\hat{r}\,\mathrm{d}\vec{r}=-\int f(r)\,\mathrm{d}r }\)

gdzie \(\mathrm{d}\vec{r}\) jest elementarną zmianą wektora wodzącego, a \(\mathrm{d}r\) elementarną zmiana długości promienia (odległości od centrum). Jak widać funkcja \(E_p(r)\) jest funkcją jedynie promienia i jest określona z dokładnością do stałej (stałej całkowania), którą znajdujemy z warunków brzegowych indywidualnie dla konkretnego przypadku.

Rozwiązanie

Dla siły \(F_1\) mamy

\(\displaystyle{E_{p1}(r)=-\int F_1\,\mathrm{d}r=-\int \frac{k}{r^4}\,\mathrm{d}r }\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 
 
\(\displaystyle{E_{p1}(r)=\frac{k}{3r^3}+C_1 }\)

Przyjmując, że gdy \(r\rightarrow \infty\) to \(E_{p1}\rightarrow 0\), więc wartość stałej wynosi \(C_1=0\). Zależność opisująca energię potencjalną ma postać:

\(\displaystyle{E_{p1}(r)=\frac{k}{3r^3}}\)

Dla siły \(F_2\) mamy
\(\displaystyle{E_{p2}(r)=-\int F_2\,\mathrm{d}r=-\int kr^2\,\mathrm{d}r+C_2 }\)

\(\displaystyle{E_{p2}(r)=\frac{kr^3}{3}+C_2 }\)

W tym przypadku logicznym jest przyjąć warunek brzegowy \(E_{p2}(r=0)=0\), gdyż wówczas wartość \(C_2=0\). I tak, zależność  pisująca energię potencjalną ma postać:

\(\displaystyle{E_{p2}(r)=\frac{kr^3}{3}}\)

Odpowiedź

Zależność energii potencjalnej od odległości od centrum w polu siły \(F_1\) ma postać \(\displaystyle{E_{p1}(r)=\frac{k}{3r^3}}\), dla siły \(F_2\) energia potencjalna określona jest wzorem \(\displaystyle{E_{p2}(r)=\frac{kr^3}{3}}\).