Zadanie 4.3.1.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.3. Pola sił
  4. 4.3.1 Nauka
  5. Zadanie 4.3.1.3

 Zadanie 4.3.1.3

Siła zachowawcza
Czy siła \(\vec{F}=\left (2xz^2-2y,\;-2x-6yz,\;2x^2z-3y^2 \right )\) jest siłą zachowawczą? Jeśli tak, to znajdź odpowiadającą jej energię.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - siły zachowawcze
Siły zachowawcze. Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni zostanie określona dana siła (co do wartości i kierunku), to mówimy o polu danej siły. Pole sił jest polem sil zachowawczych, jeżeli praca, potrzebna na przesunięcie ciała z dowolnego punktu \(A\) do dowolnego punktu \(B\), nie zależy od drogi, po jakiej ciało będzie przesuwane. W przeciwnym razie pole sil jest polem sił niezachowawczych.

Warunek dla sił zachowawczych pozwalający stwierdzić, czy dana siła jest siłą zachowawczą. Oparty jest na twierdzeniu Stokesa, które pozwala zmienić całkę po krzywej zamkniętej \(\Gamma\) na całkę po dowolnej powierzchni \(S\) rozpiętej na tej krzywej.

\(\displaystyle{\oint_{\Gamma}\vec{F}\,\mathrm{d}\,\vec{r}=\int_S\,\mathrm{rot}\vec{F}\mathrm{d}\,\vec{S}}\)

Definicja rotacji wektora może zostać zapisana przy wykorzystaniu pojęcia iloczynu wektorowego.

\(\displaystyle{\mathrm{rot}\,\vec{F}=\bigtriangledown \times \vec{F}}\)

Warunek niezależności pracy od drogi całkowania jest rownoważny warunkowi zerowania się rotacji wektora siły.

\(\displaystyle{\mathrm{rot}\,\vec{F}=\bigtriangledown \times \vec{F}=0}\)

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- zależność określająca siłę \(\vec{F}=\left (2xz^2-2y,\;-2x-6yz,\;2x^2z-3y^2 \right )\).

Szukane:
- funkcja określająca energie potencjalną \(E(x,y,z)\).

Analiza sytuacji

Siła \(\vec{F}\) jest zachowawczą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\mathrm{rot}\,\vec{F}=0\). Należy więc dokonać obliczenia rotacji dla wektora podanego w zadaniu.

  Rotacja wektora \(\vec{a}\left [ a_x(x,y,z),\;a_y(x,y,z),\;a_z(x,y,z)\right ]\) nazywamy iloczyn wektorowy wektora nabla \(\displaystyle{\bigtriangledown =\left [\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right ]}\) i wektora \(\vec{a}\). 

\(\mathrm{rot}\,\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ \large{\frac{\partial }{\partial x}}&\large{\frac{\partial }{\partial y}}&\large{\frac{\partial }{\partial z}} \\ (2xz^2-2y)&(-2x-6yz)& (2x^2z-3y^2) \end{vmatrix}\)

\(\displaystyle{\mathrm{rot}\,\vec{F}=\vec{i}\left [ \frac{\partial }{\partial y}(2x^2z-3y^2)-\frac{\partial }{\partial z}(-2x-6yz) \right ]+}\)

\(\displaystyle{+\vec{j}\left [ \frac{\partial }{\partial z}(2xz^2-2y)-\frac{\partial }{\partial x}(2x^2z-3y^2) \right ]+}\)

\(\displaystyle{+\vec{k}\left [ \frac{\partial }{\partial x}(-2x-6yz)-\frac{\partial }{\partial y}(2xz^2-2y) \right ]=}\)

\(=\vec{i}(-6y+6y)+\vec{j}(4xz-4xz)+\vec{k}(-2+2)=0\)

Ponieważ \(\mathrm{rot}\,\vec{F}=0\), więc siła \(\vec{F}\) jest siła zachowawczą i można dla niej wyznaczyć energię potencjalną.

Rozwiązanie

Energię potencjalną wyznaczymy z zależności \(\vec{F}=-\mathrm{grad}\,E\). Rozpiszmy zależność na poszczególne składowe.

 Gradientem skalarnej funkcji \(f(x,y,z)\) nazywamy wektor o składowych \(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}\), \(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}\), \(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}\) i oznaczamy ten wektor \(\mathrm{grad}\,f\) lub \(\bigtriangledown\,f\) (\(\bigtriangledown\) jest operatorem nabla). 

\(\displaystyle{F_x=-\frac{\partial E}{\partial x}}\), \(\displaystyle{F_y=-\frac{\partial E}{\partial y}}\), \(\displaystyle{F_z=-\frac{\partial E}{\partial z}}\)

Rozpoczniemy obliczenia od pierwszej składowej.

\(\displaystyle{2xz^2-2y=-\frac{\partial E}{\partial x}}\)
\(\displaystyle{E=\int(-2xz^2+2y)\,\mathrm{d}x}\)
\(E=-x^2z^2+2xy+C(y,z)\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 

\(C(y,z)\) oznacza nieznana nam część energii potencjalnej zależną tylko od współrzędnych \(y\) i \(z\).

Dla składowej \(y\) mamy
\(\displaystyle{F_y=-\frac{\partial E}{\partial y}}\)

Podstawmy teraz znane zależności

\(\displaystyle{-2x-6yz=-\frac{\partial }{\partial y} [-x^2z^2+2xy+C(y,z)]}\)
\(\displaystyle{-2x-6yz=-2x-\frac{\partial }{\partial y} C(y,z)}\)
\(\displaystyle{6yz=\frac{\partial }{\partial y} C(y,z)}\)
\(\displaystyle{C(y,z)=\int 6yz\,\mathrm{d}y}\)
\(C(y,z)=3y^2z+C(z)\)

\(C(z)\) oznacza część szukanej funkcji \(E(x,y,z)\), mogącą już tylko zależeć od współrzędnej \(z\). Korzystając teraz z ostatniej zależności \(\displaystyle{F_z=-\frac{\partial E}{\partial z}}\) otrzymujemy równanie

\(\displaystyle{2x^2z-3y^2=-\frac{\partial }{\partial z} [-x^2z^2+2xy+3y^2z+C(z)]}\)
\(\displaystyle{2x^2z-3y^2=2x^2z-3y^2-\frac{\partial }{\partial z} C(z)}\)
\(\displaystyle{0=\frac{\partial }{\partial z} C(z)}\)

Stąd wynika, że \(C(z)=C_0=const\) i ostatecznie szukana energia potencjalna wyrażona jest funkcją

\(E(x,y,z)=-x^2z^2+2xy+3y^2z+C_0\)

Odpowiedź

Siła \(\vec{F}\) jest siłą zachowawczą, a funkcja określająca energie potencjalną ma postać \(E(x,y,z)=-x^2z^2+2xy+3y^2z+C_0\).