Zadanie 4.3.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.3. Pola sił
  4. 4.3.1 Nauka
  5. Zadanie 4.3.1.4

 Zadanie 4.3.1.4

Praca w polu sił
Dane jest pole sił: \(\vec{F}=(y^2,\;-x^2 )\,\mathrm{N}\).

1. Oblicz prace sił pola przy przesuwaniu cząstki z położenia \(A=(0,1)\,\mathrm{m}\) do położenia \(B=(1,0)\,\mathrm{m}\). Zakładamy przy tym, że praca jest wykonana:
a) po linii prostej \(y=1-x\),
b) po okręgu \(x^2+y^2=1\),
c) po osiach współrzędnych.

2. Czy to pole jest potencjalne?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - siły zachowawcze
Siły zachowawcze. Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni zostanie określona dana siła (co do wartości i kierunku), to mówimy o polu danej siły. Pole sił jest polem sil zachowawczych, jeżeli praca, potrzebna na przesunięcie ciała z dowolnego punktu \(A\) do dowolnego punktu \(B\), nie zależy od drogi, po jakiej ciało będzie przesuwane. W przeciwnym razie pole sil jest polem sił niezachowawczych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wektor określający pole sił \(\vec{F}=(y^2,\;-x^2)\,\mathrm{N}\),
- współrzędne punktu początkowego \(A=(0,1)\,\mathrm{m}\),
- współrzędne punktu końcowego \(B=(1,0)\,\mathrm{m}\).

Szukane:
- praca sił pola przy przesuwaniu cząstki po linii prostej \(y=1-x\): \(W_1\),
- praca sił pola przy przesuwaniu cząstki po okręgu \(x^2+y^2=1\): \(W_2\),
- praca sił pola przy przesuwaniu cząstki po osiach współrzędnych \(W_3\).

Analiza sytuacji

Zgodnie z definicją, praca przy przesuwaniu cząstki z położenia \(A\) do położenia \(B\) wyraża się wzorem

\(\displaystyle{W=\int_A^B\vec{F}\,\mathrm{d}\vec{r}=\int_A^B(F_x\,\mathrm{d}x+F_y\,\mathrm{d}y+F_z\,\mathrm{d}z)}\)

Granice zaznaczone są w sposób symboliczny, a należy przez nie rozumieć współrzędne punktu początkowego i końcowego dane w zadaniu. Zgodnie z danymi zadania należy przyjąć, że składowa siły \(F_z=0\). Teraz podstawiając do wzoru wyrażenia na \(F_x\) i \(F_y\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{W=\int_{(0,1)}^{(1,0)}(y^2\,\mathrm{d}x-x^2\,\mathrm{d}y)}\)

Dalsze obliczenia zależą od drogi, po której wykonywana jest praca, czyli matematycznie od przyjętej drogi całkowania.

Rozwiązanie

Jeżeli praca jest wykonana po drodze, dla której \(y=1-x\) lub równoważnie \(x=1-y\), wówczas wzór na pracę można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{W_1=\int_0^1(1-x)^2\,\mathrm{d}x-\int_1^0(1-y)^2\,\mathrm{d}y}\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 
 \[\displaystyle{W_1=\int_0^1(1-2x+x^2)\,\mathrm{d}x-\int_1^0(1-2y+y^2)\,\mathrm{d}y}\] \[\displaystyle{W_1=\left [ x-x^2+\frac{x^3}{3} \right ]_0^1-\left [ y-y^2+\frac{y^3}{3} \right ]_1^0 }\] \[\displaystyle{W_1=1-1+\frac{1}{3}-(-1+1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3} }\] 
\(\displaystyle{W_1=\frac{2}{3}\,\mathrm{J} }\)

Podobnie obliczamy pracę, gdy jest ona wykonywana po ćwiartce okręgu o równaniu \(x^2+y^2=1\)

\(\displaystyle{W_2=\int_0^1(1-x^2)\,\mathrm{d}x-\int_1^0(1-y^2)\,\mathrm{d}y}\)
 \[\displaystyle{W_2=\left [ x-\frac{x^3}{3} \right ]_0^1-\left [ y-\frac{y^3}{3} \right ]_1^0 }\] \[\displaystyle{W_2=1-\frac{1}{3}-(-1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}+\frac{2}{3} }\] 
\(\displaystyle{W_2=\frac{4}{3}\,\mathrm{J} }\)

Zakładając, że praca jest wykonywana po osiach współrzędnych mamy

\(\displaystyle{W_3=\int_{(0,1)}^{(0,0)}(y^2\,\mathrm{d}x-x^2\,\mathrm{d}y)+\int_{(0,0)}^{(1,0)}(y^2\,\mathrm{d}x-x^2\,\mathrm{d}y) }\)

\(\displaystyle{W_3=\int_0^0y^2\,\mathrm{d}x-\int_1^0x^2\,\mathrm{d}y+\int_0^1y^2\,\mathrm{d}x-\int_0^0x^2\,\mathrm{d}y=0 }\)

W powyższym wyrażeniu pierwsza i czwarta całka są równa zeru ze względu na granice całkowania, natomiast w całce drugiej i trzeciej funkcje podcałkowe są tożsamościowo równe zeru w obszarze całkowania, stąd wartości całek wynoszą zero.

Jak widać praca zależy od drogi, po której jest wykonywana \(W_1\neq W_2\neq W_3\), stąd pole sił zadane siłą postaci \(\vec{F}=(y^2,\;x^2 )\,\mathrm{N}\) nie jest polem potencjalnym.

Odpowiedź

Poszczególne prace wynoszą: \(\displaystyle{W_1=\frac{2}{3}\,\mathrm{J} }\), \(\displaystyle{W_2=\frac{4}{3}\,\mathrm{J} }\), \(W_3=0\). Jak widać praca zależy od drogi, po której jest wykonywana \(W_1\neq W_2\neq W_3\), stąd pole sił zadane siłą postaci \(\vec{F}=(y^2,\;x^2 )\,\mathrm{N}\) nie jest polem potencjalnym.