Zadanie 4.3.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.3. Pola sił
  4. 4.3.2 Trening
  5. Zadanie 4.3.2.1

 Zadanie 4.3.2.1

Położenie i prędkość cząstki w polu siły
Cząstka o masie \(2\,\mathrm{kg}\) porusza się w polu siły \(\vec{F}\) zależnej od czasu w następujący sposób: \(\vec{F}=\left (-4t^3,\;2t+8 \right )\,\mathrm{N}\), gdzie czas \(t\) jest w \(\mathrm{s}\). Przyjmując warunki początkowe \(\vec{r}_0=(2,\;-3)\,\mathrm{m}\), \(\displaystyle{\vec{v}_0=(1,\,-1)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) znajdź zależność prędkości i położenia cząstki od czasu.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa cząstki \(m=2\,\mathrm{kg}\),
- zależność określająca siłę \(\vec{F}=\left (-4t^3,\;2t+8 \right )\,\mathrm{N}\),
- wektor położenia \(\vec{r}_0=(2,\;-3)\,\mathrm{m}\),
- wektor prędkości początkowej \(\displaystyle{\vec{v}_0=(1,\,-1)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

Szukane:
- zależność położenia cząstki od czasu \(\vec{r}\),
- zależność prędkości cząstki od czasu \(\vec{v}\).

Odpowiedź

Wzory opisująca zależność prędkości od położenia mają następująca postać:
\(\displaystyle{\vec{v}=\left (-\frac{1}{2}t^4+1,\;\frac{1}{2}t^2+4t-1\right )\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

\(\displaystyle{\vec{r}=\left ( -\frac{1}{10}t^5+t+2,\;\frac{1}{6}t^3+2t^2-t-3\right )\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Polecenie

Oblicz współrzędne wektora prędkości. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{V_x=t^4-\frac{1}{2}\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)
\(\displaystyle{V_y=-t^2+t\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{V_x=-\frac{1}{2}t^4+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)
\(\displaystyle{V_y=\frac{1}{2}t^2+4t-1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{V_x=2t^4+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)
\(\displaystyle{V_y=\frac{1}{2}t^2-1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{V_x=-\frac{1}{2}t^3+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)
\(\displaystyle{V_y=t^2-4t-1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Rozpisując równanie wektorowe na poszczególne składowe otrzymujemy dwa równania.

\(\displaystyle{F_x=m\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\),  \(\displaystyle{F_y=m\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d} t} }\),

Znajdźmy najpierw współrzędne wektora prędkości.
\(\displaystyle{\frac{1}{m} F_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\),  \(\displaystyle{\frac{1}{m} F_y=\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d} t} }\)

Z danych zadania wiemy, że \(F_x=-4t^3\) i \(F_y=2t+8\) oraz \(m=2\,\mathrm{kg}\)

\(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot (-4\,t^3)=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\) oraz \(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot (2\,t+8)=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d} t} }\)

Po rozdzieleniu zmiennych mamy
\(\displaystyle{v_x=-2\int t^3\,\mathrm{d}t }\)  oraz  \(\displaystyle{v_y=\int (t+4)\,\mathrm{d}t }\)

\(\displaystyle{v_x=-\frac{1}{2} t^4+C_{vx} }\)  oraz  \(\displaystyle{v_y=\frac{1}{2} t^2+4t+C_{vy} }\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 
Stałą całkowania \(C_{vx}\) i \(C_{vy}\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(\displaystyle{v_{x0}=1\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) i \(\displaystyle{v_{y0}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\) dla \(t=0\).

\(\displaystyle{1=-\frac{1}{2}\cdot 0^4+C_{vx} }\)  oraz  \(\displaystyle{-1=\frac{1}{2}\cdot 0^2+4\cdot 0+C_{vy} }\)
\(C_{vx}=1\)  oraz  \(C_{vy}=-1\)

Ostateczna postać równania określającego zależność współrzędnej \(v_x\) wektora prędkości od czasu jest następująca

\(\displaystyle{V_x=-\frac{1}{2}t^4+1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)  oraz  \(\displaystyle{V_y=\frac{1}{2}t^2+4t-1\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

Polecenie

Oblicz współrzędne wektora położenia. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{r_x=\frac{1}{2}t^5-t-2\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)
\(\displaystyle{r_y=-\frac{1}{3}t^3+4t^2+t-3\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{r_x=\frac{1}{10}t^4+2t^2-2\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)
\(\displaystyle{r_y=-\frac{1}{6}t^3+t^2-t-3\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{r_x=-\frac{1}{2}t^5+2t^2+2\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)
\(\displaystyle{r_y=\frac{1}{3}t^3+2t^2-3\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{r_x=-\frac{1}{10}t^5+t+2\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)
\(\displaystyle{r_y=\frac{1}{6}t^3+2t^2-t-3\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Następnie znajdziemy zależność \(r_x(t)\) korzystając z równania \(\displaystyle{v_x=\frac{\mathrm{d}r_x }{\mathrm{d} t}}\) oraz \(r_y(t)\) korzystając z równania \(\displaystyle{v_y=\frac{\mathrm{d}r_y }{\mathrm{d} t}}\)

\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r_x }{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{2}\, t^4+1}\)  oraz  \(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}r_y }{\mathrm{d} t}=\frac{1}{2}\, t^2+4t-1}\)

\(\displaystyle{r_x=\int\left (-\frac{1}{2}\, t^4+1\right ) \mathrm{d}\,t }\)  oraz  \(\displaystyle{r_y=\int\left (\frac{1}{2}\, t^2+4t-1\right ) \mathrm{d}\,t }\)
 
\(\displaystyle{r_x=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} t^5+t+C_x }\)  oraz  \(\displaystyle{r_y=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} t^3+4\cdot \frac{1}{2}t^2-t+C_x }\)
 \[\displaystyle{\int x^n=\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C,\;\,n\neq -1}\] 
Stałe całkowania \(C_x\) i \(C_y\) znajdziemy korzystając z warunków początkowych podanych w treści zadania \(r_x=2\,\mathrm{m}\) oraz \(r_y=-3\,\mathrm{m}\) dla \(t=0\).

\(\displaystyle{2=-\frac{1}{10}\cdot 0^5+0+C_x }\)  oraz  \(\displaystyle{-3=\frac{1}{6}\cdot 0^3+2\cdot 0^2-0+C_y }\)

\(C_x=2\)  oraz  \(C_y=-3\)
Ostatecznie więc mamy:

\(\displaystyle{r_x=-\frac{1}{10}t^5+t+2\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)  oraz  \(\displaystyle{r_y=\frac{1}{6}t^3+2t^2-t-3\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)

Odpowiedź

Wzory opisująca zależność prędkości od położenia mają następująca postać:
\(\displaystyle{\vec{v}=\left (-\frac{1}{2}t^4+1,\;\frac{1}{2}t^2+4t-1\right )\,\mathrm{\left [\frac{m}{s}\right ]}}\)

\(\displaystyle{\vec{r}=\left ( -\frac{1}{10}t^5+t+2,\;\frac{1}{6}t^3+2t^2-t-3\right )\,\mathrm{\left [m\right ]}}\)